人教版（2019）数学必修第二册7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义课件(共32张PPT)

(共32张PPT)
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
高一
必修二
本节目标
1. 了解复数的乘、除运算的三角表示及其几何意义;
2. 会用三角形式进行复数乘、除运算;
3. 复数三角形式的乘、除运算的几何意义的运用.
课前预习
预习课本P86～89，思考并完成以下问题
1. 怎样进行复数的三角形式的乘法运算？复数乘法运算的几何意义是什么？
2. 怎样进行复数的三角形式的除法运算？复数除法运算的几何意义是什么？
课前小测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在复数范围内，1的立方根是1.(　　)
(2)2·3＝6i.(　　)
×
√
2．把z＝2－i对应的向量，按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数的代数形式为________．
x
y
O
2
－1
Z
－2
－1
－1－2i
3．(1＋ i)2019＝________.
－22019
(1＋ i)2019＝ 2019
＝
＝
＝
4． ＝__________________.
＝
＝
新知探究
情景导入
复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？
1. 复数三角形式的乘法
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
设z1，z2的三角形式分别是：
z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
则z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)
＝_____________________________，
简记：模数相乘，辐角相加
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
两个复数z1，z2相乘，可以先分别画出与z1，z2对应的向量， ，然后把向量绕点O按_____________________(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为________________，得到向量， 表示的复数就是积z1z2.
几何意义
逆时针方向旋转θ2
原来的r2倍
特征：旋转＋伸缩变换．
2. 复数三角形式的除法
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
设z1，z2的三角形式分别是：
z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，
z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，
则＝ ＝ __________________________(z2≠0)，
[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
简记：模数相除，辐角相减
几何意义
两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量， ，将向量按__________________(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为____________，所得向量就表示商.
顺时针方向旋转θ2
原来的倍
复数除法实质也是向量的_______________．
旋转和伸缩
3．复数三角形式的乘法公式推广
z1z2z3…zn＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)·…·rn(cosθn＋isinθn)
＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
4．复数的乘方运算(棣莫佛定理)
即复数的n(n∈N*)次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理．
[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　复数三角形式乘法运算及几何意义
[例1]　已知复数z1＝2 ，z2＝ ，求z1z2.
z1z2 ＝ 2 ×
＝ 2×
＝
＝
反思感悟
涉及两个复数积的运算，应先将复数化为三角形式，再按复数三角形式的乘法运算法则进行，要注意辐角主值的范围．
跟踪训练
已知z1＝4＋4i的辐角主值为θ1，z2＝－1－i的辐角主值为θ2，求θ1＋θ2的值．
∵z1＝4＋4i＝4，
z2＝－1－i＝ ，
∴z1z2＝4 []
＝8 ＝8 ，
∴θ1＋θ2＝ .
题型二　复数三角形式除法运算及其几何意义
[例2]　计算的值．
反思感悟
在进行复数三角形式的除法运算时，注意先将复数化为三角形式，再按除法法则进行运算，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示．
跟踪训练
2. 计算：2÷[].
原式= 2]÷[]
= 2 ]
= 2]
题型三　　复数乘、除运算几何意义的应用
[例3] 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ .
[例3] 如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ .
[证明]　如图，建立平面直角坐标系(复平面)．
∠1＝arg(3＋i)， ∠2＝arg(5＋i)，
∠3＝arg(7＋i)， ∠4＝arg(8＋i)．
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)的辐角．
而(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)＝650(1＋i)，
所以arg[(3＋i)(5＋i)(7＋i)(8＋i)]＝ ，
又因为∠1，∠2，∠3，∠4均为锐角，
于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ .
反思感悟
复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．
跟踪训练
3．设复数z1，z2对应的向量为， ，O为坐标原点，且z1＝－1＋ i，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，求复数z2.
解：依题意(－1＋i) ＝ .
∴z2＝(－1＋ i)
＝2 ]
＝2
＝－ ＋ i.
随堂检测
1. 10＝(　　)
A．i B．－i
C. ＋ i D. － i
10 ＝
＝
＝
＝
A
2．若复数z＝ ，则它的三角形式为(　　)
A. B.
C. D.
∵z＝ ＝ ＋ i，
∴|z|＝ ，
复数z对应的点是(, )，位于第一象限，
所以argz＝ .
C
3. ＝(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
原式＝cos()＋isin ()
＝cos ＋isin
＝i
A
4．计算2÷ ＝________.
2÷ ＝
＝
＝
＝
＝
＝
本课小结
1．复数三角形式的乘法法则：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
2．复数三角形式的除法法则：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
3．复数乘、除运算的几何意义是向量的旋转和伸缩，利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件，数形结合．
通过本节课，你学会了什么？