人教版（2019）数学必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(2)课件(共39张PPT)

(共39张PPT)
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(2)
高一
必修二
本节目标
1．了解并掌握球的体积和表面积公式．
2．会用球的体积与表面积公式解决实际问题．
3．会解决球的切、接问题．
课前预习
预习课本P117～119，思考并完成以下问题
1．球的表面积公式是什么？
2．球的体积公式是什么？
课前小测
(1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　)
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)
(3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为V＝ S.(　　)
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
√
√
√
(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是(　　)
A. B. C. D．2πc2
2．做一做　　　
C
(2)表面积为4π的球的半径是________．
1
1
(3)直径为2的球的体积是________．
1
(4)已知一个球的体积为，则此球的表面积为________．
1
新知探究
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S球＝______，
即球的表面积等于它的大圆面积的_____倍．
注意
4πR2
4
球的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.
思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
[提示]　球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．
？
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V球＝______.
πR3
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 球的表面积与体积
[例1] (1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；
(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；
(3)已知球的体积为，求它的表面积．
[例1] (1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；
球的半径R＝3 cm
球的表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)
球的体积V球＝ πR3＝36π(cm3)
[例1] (2)已知球的表面积为64π，求它的体积；
V球＝ πR3＝ π×43＝ π
S球＝4πR2＝64π
R2＝16
R＝4
[例1] (3)已知球的体积为，求它的表面积．
V球＝ πR3＝
R3＝125
R＝5
S球＝4πR2＝100π
(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．
求球的体积与表面积的方法
(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．
总结提升
跟踪训练
1. (1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________；
设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得
R＝4
r＝3
它们的体积和为πR3＋ πr3＝
跟踪训练
(2)已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积．
S球＝4πR2＝256π(cm2)
设球的半径为R cm
2πR＝16π
R＝8
题型二 球的截面问题
[例2] 一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A. π B．4π C．4π D．6π
[例2] 一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A. π B．4π C．4π D．6π
如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，
∴V＝ π×()3＝4π.
则OO′＝，O′M＝1，
∴OM＝ ＝，即球的半径为，
B
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．
球的截面的性质
(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的
半径r满足关系d＝ .
总结提升
跟踪训练
2. (1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
如图，作出球的一个截面，
则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝ AB＝ ×8＝4(cm)．
设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，
∴R＝5，∴V球＝ π×53＝ π(cm3)．
A
(2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．
球心到截面的距离h＝ ＝6
S球＝4πR2
＝400π
R＝10
截面圆的半径r＝8
πr2＝64π
6
题型三 球的组合体问题
[例3] 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
2a
a
a
则球的半径R＝ ＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，
线段AB即为长方体底面的对角线，长度为，
线段BC即为长方体的高，长度为a，
线段AC即为长方体的体对角线，长度为，
[例3] 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2
B
多维探究
1. 将本例中长方体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？
如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，
则E为△BCD的中心，连接BE.
∵棱长为a，∴BE＝ a× ＝ a.
∴在Rt△ABE中，AE＝ ＝ a.
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝ a，∴S球＝4π×(a)2＝ πa2.
2. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2 B. πa2 C. πa2 D．5πa2
B
由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.
如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，
易知AP＝ × a＝ a，OP＝ a，
所以球的半径R＝OA满足R2＝(a)2＋(a)2＝ a2，
故S球＝4πR2＝ πa2.
总结提升
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝ ，过在一个平面上的四个切点作截面如图．
1.正方体的内切球
总结提升
2．长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝ ，如图．
总结提升
3．正四面体的外接球
正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：
2R＝ a.
随堂检测
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)
A. B. C. D.
由题意知，此球是正方体的内切球，
根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，
故可得球的直径为2，所以球的半径为1，
其体积是 ×π×13＝ .
A
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A. B．16π C．9π D.
A
如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOE中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，
∴该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝ .
3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)
A．1倍 B．2倍 C. 倍 D. 倍
设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，
其表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，
故最大球是其余两个球的表面积之和的＝ 倍．
C
4．一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．
设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，
则由π＝πr2，得r＝1，
又r2＋()2＝R2，
∴R＝2.
∴V＝ πR3＝ .
由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为r，则容器内水的体积为
V＝V圆锥－V球＝ π·(r)2·3r－ πr3＝ πr3，
而将球取出后，设容器内水的深度为h，
则水面圆的半径为h，
从而容器内水的体积是V′＝ π·(h)2·h＝ πh3，
由V＝V′，得h＝ r.即容器中水的深度为r.
5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．
2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？