人教版（2019）数学必修第二册8.4.1平面课件(共43张PPT)

(共43张PPT)
8.4.1 平面
高一
必修二
本节目标
1.通过日常生活中学生熟悉的实物的直观感觉，再借助平面几何中对直线的理解，抽象出平面这个概念，培养学生数学抽象核心素养．
2.借助实物及生活经验，理解三个基本事实和三个推论．
3.会用文字语言、几何图形、数学符号表示点、线、面之间的关系.
课前预习
预习课本P124～127，思考并完成以下问题
1．教材中是如何定义平面的？
2．平面的表示方法有哪些？
3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？
4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
课前小测
1．下列说法正确的是(　　)
A．镜面是一个平面
B．一个平面长10 m，宽5 m
C．一个平面的面积是另一个平面面积的2倍
D．所有的平面都是无限延展的
镜面可以抽象成平面，但不是平面
平面没有大小
×
×
×
√
D
点拨
类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.
2.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.
A
3．三点可确定平面的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．1或无数个
当这三点共线时，可确定无数个平面；
当这三点不共线时，可确定一个平面．
D
4．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为(　　)
A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P
C．P∈a，P α D．P∈a，a α
点P在平面α外
P α
直线a经过点P
P∈a
C
5．若平面α与平面β相交，点A，B既在平面α内又在平面β内，则点A，B必在______________．
所以A，B∈l.
α与β的交线上
设α∩β＝l
因为A，B∈α且A，B∈β
新知探究
1．平面的概念
几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.平面是向四周________的.
无限延展
平面的几个特点
(1)平面是________；
(2)平面是__________的；
(3)平面是__________而没有边界的．
平的
没有厚度
无限延展
2．从集合的角度理解点、直线、平面
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“ ”或“ ”表示．
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示．
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“ ”表示．
3．平面的画法
(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用_______画出来．如图.
(1)水平放置的平面通常画成一个___________，它的锐角通常画成_______，且横边长等于其邻边长的_______．如图.
平行四边形
45°
2倍
虚线
4．平面的表示法
上图的平面可表示为_______、_________、________或___________.
平面α
平面ABCD
平面AC
平面BD
5．平面的基本性质
基本事实 内容 图形 符号
基本事实1 过_______________的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α _______
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________ P∈α, P∈β
_____________
不在一条直线上
两点
l α
公共直线
α∩β＝l且P∈l
6．准确认识三个基本事实的意义和作用
①确定平面；
基本事实1
意义
是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．
作用
②证明点、线共面．
6．准确认识三个基本事实的意义和作用
既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法．
基本事实2
意义
说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”．
作用
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可出推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面．
6．准确认识三个基本事实的意义和作用
①判断两个平面是否相交；
②确定两个平面的交线；
③证明若干点共线问题．
基本事实3
意义
揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．
作用
α
α
α
7．推论
推论3：经过两条_______直线，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和__________，有且只有一个平面．
直线外一点
推论2：经过两条_______直线，有且只有一个平面．
相交
平行
A
a
B
C
a
b
P
a
b
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　立体几何三种语言的相互转化
[例1] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
平面A1B∩平面AC＝直线AB
点P∈直线AB
点C 直线AB
点M∈平面AC
点A1 平面AC
直线AB∩直线BC＝点B
直线AB 平面AC
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
总结提升
易错提醒
根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练
1.用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
1.用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
符号语言表示：
α∩β∩γ＝P，
α∩β＝PA，
α∩γ＝PB，
β∩γ＝PC，
图形表示：如图.
1.用符号语言表示下列语句，并画出图形：
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
符号语言表示：
平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，
图形表示：如图.
题型二　点、线共面问题
[例2] 如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
[证明]　
∵PQ∥a，
∴PQ 与 a 确定一个平面β.
∴直线 a β，点 P∈β.
∵P∈b，b α，∴P∈α.
又∵a α，∴α与β重合．∴PQ α.
总结提升
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
跟踪训练
2. 已知A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图．
求证：直线AD，BD，CD共面．
证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．
因为D l，所以l与D可以确定平面α(推论1)．
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD α(基本事实1)．
同理，BD α，CD α，
所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面.
题型三　点共线、线共点问题
[例3] 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β. 求证：AB，CD，l共点(相交于一点).
[证明]　因为梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
因为AB，CD必定相交于一点. 设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD, l共点(相交于一点)．
总结提升
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
证明三点共线的方法
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
总结提升
(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点．　
证明三线共点的步骤
(1)首先说明两条直线共面且交于一点；
(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
多维探究
1. [变条件，变结论]如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上．
证明：若EF，GH交于一点P，
则E，F，G，H四点共面，
又因为EF 平面ABD，GH 平面CBD，
平面ABD∩平面CBD＝BD，
所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
由基本事实3可得P∈BD.
2. [变条件，变结论]已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
证明：
∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上．
∴P，Q，R三点共线．
法一
2. [变条件，变结论]已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
法二
∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC 面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线．
随堂检测
1．在空间中，下列结论正确的是(　　)
A．三角形确定一个平面
B．四边形确定一个平面
C．一个点和一条直线确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
空间四边形不能确定一个平面
×
若点在直线上，则有无数个平面
×
若两条直线重合，则有无数个平面
×
√
A
2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　)
A．相交 B．重合
C．相交或重合 D．以上都不对
C
若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；
若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．
3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(　　)
A．0 B．1 C．0或1 D．1或3
D
当三条互相平行的直线共面时，可确定1个平面；
当三条互相平行的直线不共面时，可确定3个平面．
4．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)AC∩BD＝________；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(3)A1B1∩B1B∩B1C1＝________.
O
A1B1
B1
5．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA. 求证：AA1，BB1，CC1交于一点．
同理，将C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.
而AA1 γ，BB1 β，∴P∈γ，P∈β，
∴P在平面β与平面γ的交线上．
又β∩γ＝C1C，∴P∈C1C，
∴AA1，BB1，CC1交于一点．
β
证明　如图所示，∵B1C1∥BC，
∴B1C1与BC确定一个平面，记为平面β.
γ
易知β∩γ＝C1C.
∵△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，
∴AA1与BB1相交，
设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.
5．如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.
求证：AA1，BB1，CC1交于一点．
本课小结
基本事实1——判定点共面、线共面的依据；
基本事实2——判定直线在平面内的依据；
基本事实3——判定点共线、线共点的依据．
图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换．
1．立体几何的三种语言
2．三个基本事实的作用
本课小结
首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点.
或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上．
3．证明几点共线的方法
通过本节课，你学会了什么？