人教版（2019）数学必修第二册8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
高一
必修二
本节目标
1.借助长方体的棱与各面之间的位置关系，理解空间中直线与直线的相交、平行、异面三种位置关系，直线与平面的三种位置关系及平面与平面的两种位置关系，培养学生的直观想象核心素养．
2.进一步掌握用几何图形、数学符号表示空间点、线、面之间的位置关系．
3.依据有关概念，学会判断(证明)空间点、线、面之间的位置关系，提升逻辑推理核心素养.
课前预习
预习课本P128～131，思考并完成以下问题
1．空间中直线与直线的位置关系有哪几种？分别是怎样定义与表示的？
2．空间中直线与平面的位置关系有哪几种？分别是怎样定义与表示的？
3．空间中平面与平面的位置关系有哪几种？分别是怎样定义与表示的？
课前小测
1．直线a，b，c两两平行，但不共面．经过其中两条直线的平面的个数为(　　)
A．1 B．3
C．6 D．0
由基本事实1和基本事实2的推论3可知，
a，b确定一个平面α，
a，c确定一个平面β，
b，c确定一个平面γ，且α，β，γ两两相交．
B
2．不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面　　
C．平行 D．相交或异面
由于空间两条直线的位置关系是平行、相交、异面，
D
则不平行的两条直线的位置关系是相交或异面．
3．两两相交的三条直线最多可确定________个平面．
当两两相交的三条直线不共点时，只能确定一个平面(如图(1))，
当三条直线两两相交于同一点时，能确定3个平面(如图(2))．
3
4．已知平面α∥平面β，直线a α，则直线a与平面β的位置关系为________．
所以a∥β.
因为α∥β，所以α与β无公共点，
因为a α，所以a与β无公共点，
α
β
a
a∥β
新知探究
知识点一　空间中直线与直线的位置关系
1．空间两条直线的位置关系有且只有三种
共面直线
异面直线
相交直线
平行直线
在同一平面内有且只有一个公共点
在同一平面内没有公共点
不同在任何一个平面内，没有公共点
2．异面直线的画法
为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.
α
a
b
α
β
a
b
如图所示：
知识点二　空间中直线与平面的位置关系
直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个 1个 0个
符号表示 a a=A a∥
α
a
α
a
A
α
a
图形表示
位置关系
直线在平面内
知识点三　空间中平面与平面的位置关系
②两个平面相交——有一条公共直线．
有且只有两种
①两个平面平行—— 没有公共点；
②两个平面α，β相交于直线l，记为_________.
α∩β＝l
①两个平面α，β平行，记为α∥β；
1．位置关系
2．符号表示
知识点三　空间中平面与平面的位置关系
两个平面α，β相交于直线l，如图②所示．
两个平面α，β平行，如图①所示；
3．图示
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　直线与直线位置关系的判断
[例1] 如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
平行
异面
相交
异面
总结提升
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
总结提升
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
跟踪训练
1. 下在正方体ABCD- A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与直线BA1异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条.
C
题型二　空间直线与平面位置关系判断
[例2] 下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
如图，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；
×
题型二　空间直线与平面位置关系判断
[例2] 下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
×
AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；
×
题型二　空间直线与平面位置关系判断
[例2] 下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
×
×
AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；
×
题型二　空间直线与平面位置关系判断
[例2] 下列命题中，正确命题的个数是(　　)
①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；
④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
A．0 B．1 C．2 D．3
×
×
×
④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；
√
√
C
总结提升
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
直线与平面位置关系的判断
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，
要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，
要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
跟踪训练
2. 在长方体ABCD -A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．
B1C 平面BCC1B1，
B1C∥平面ADD1A1，
B1C与其余4个面相交．
BD1与6个面都相交.
题型三　平面与平面位置关系的判断
[例3] 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
C
如图所示，a α，b β，a∥b.
由图形可知，这两个平面可能相交，也可能平行．
总结提升
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行. 　　　　
多维探究
1．[变条件]本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
如图，a α，b β，a，b异面．
由图知这两个平面可能平行，也可能相交．
2．[变条件]若将条件改为：平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α与β的关系是什么？
如图，α内都有无数条直线与平面β平行
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
随堂检测
1．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是(　　)
A．平行
B．相交
C．异面
D．可能平行、可能相交、可能异面
D
√
√
√
2．已知直线a∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
过点P和直线a可确定唯一一个平面，在这个平面内，过点P可作直线与直线a平行，且这条直线唯一，而且这条直线在平面α内．
C
3．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．
1或2或3
当α过β，γ的交线时，三平面有一条交线．
当β∥γ时，有两条交线．
当α与β，γ两两相交且不交于同一条直线时，有三条交线．
4．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥β，直线a α，直线b β，则直线a∥b.
①⑤
直线l也可能与平面相交
×
直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交
另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行
×
×
两平行平面内的直线可能平行，也可能异面
×
本课小结
(1)空间中直线与平面只有三种位置关系：
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．
(2)在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．
2．空间中直线与平面位置关系的判断方法
本课小结
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断；
(2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果；
(3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，达到准确的判断位置关系的目的．
3．判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
通过本节课，你学会了什么？