人教版（2019）数学必修第二册8.6.1直线与直线垂直课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
8.6.1 直线与直线垂直
高一
必修二
本节目标
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
2.会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．
预习课本P146～148，思考并完成以下问题
课前预习
1．空间两直线有哪几种位置关系？什么是异面直线？
2．什么是异面直线所成的角？
3．异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？
课前小测
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c (　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
a
b
c
B
a⊥b
b∥c
a⊥c
2．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为__________.
因为a∥OA，根据等角定理，
又因为异面直线所成的角为锐角或直角，
所以a与OB所成的角为60°.
60°
3．已知正方体ABCD -EFGH，则AH与FG所成的角是________．
连接BG，则BG∥AH，
所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.
因为四边形BCGF为正方形，
所以∠BGF＝45°.
45°
新课导入
复习回顾
空间两直线的位置关系
(1)从公共点的个数来看可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交
α
l1
l2
记作：l1 ∩ l2＝A
②没有公共点
两直线平行
记作： l1 ∥ l2
两直线为异面直线
α
l1
l2
(2)从平面的性质来讲，可分为：
①在同一平面内
两直线相交
两直线平行
②不同在任何一个平面内——两直线为异面直线
观察
如图，在正方体ABCD -A′B′C′D′中，直线A′C′与直线AB，直线A′D′与直线AB都是异面直线，直线A′C′与A′D′相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
新知探究
1．异面直线所成的角
在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90°的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图.
O
思考：异面直线有没有夹角呢？若有，如何找出这个夹角？
1．异面直线所成的角
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(1)定义
α
a
b
O
a′
b′
把空间图形转化为平面图形
异面直线夹角转化为相交直线夹角
思考：这个角的大小与O点的位置有关吗？即O点的位置不同时，这个角的大小是否改变？
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)异面直线所成的角θ的取值范围
注意：空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤ θ≤90°
0°<θ≤90°
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
2．理解异面直线所成角的注意点
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　求异面直线所成的角
[例1]　如图，三棱锥A- BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．
过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，
所以CM∶MB＝AE∶EB，
所以EM∥AC，
所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
AC与BD所成的角为∠EMF，
因为AC⊥BD，∴∠EMF＝90°，
所以α＋β＝90°.
[例1]　如图，三棱锥A- BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．
总结提升
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ. 若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求.
求异面直线所成的角的一般步骤
跟踪训练
1．[变条件，变结论]将本例变为：如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角．
如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
故EG∥BC且EG＝ BC＝1，
FG∥AD，且FG＝ AD＝1.
即∠EGF为所求，
又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
G
2．正方体ABCD -A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是________．
因为∠B′AB＝45°
连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′，
又CD∥AB
所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成角
所以EF与CD所成角的度数是45°
45°
题型二　证明直线与直线垂直问题
[例2] 如图，已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．
求证：CD1⊥EF.
[证明]　取CD1的中点G，连接EG，DG.
因为E是BD1的中点，所以EG∥BC，EG＝ BC.
因为F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
所以DF∥BC，DF＝ BC.
所以EG∥DF，EG＝DF.
所以四边形EFDG是平行四边形，所以EF∥DG，
又A1A＝AB，所以四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，
且G为CD1的中点，
所以DG⊥CD1，所以CD1⊥EF.
[例2] 如图，已知在长方体ABCD -A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．
求证：CD1⊥EF.
总结提升
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
证明两条直线垂直的策略
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．
证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
跟踪训练
2. 在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
随堂检测
1．如图，已知正方体ABCD- A′B′C′D′.
(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直．
(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？
(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？
棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线
由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.
2．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF IG.
易知IG，IH，HG相等，
则△HGI为等边三角形，
则IG与GH所成的角为60°，
即EF与GH所成的角为60°.
I
B
3．如图，正方体ABCD- A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是_________．
连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
60°
4．如图，在四棱锥P -ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是_______．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAB是PA与CD所成的角．
又∵PA⊥AB，
∴∠PAB＝90°.
90°
本课小结
1.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．
2．作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；
②中位线平移法；
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
通过本节课，你学会了什么？