人教版（2019）数学必修第二册8.6.2直线与平面垂直(2)课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
8.6.2 直线与平面垂直(2)
高一
必修二
本节目标
1. 理解直线与平面垂直的性质定理，并能运用其解决相关问题．
2. 了解空间点、线、面的距离．
3. 掌握线线垂直和线面垂直的相互转化关系，并能应用解题．
预习课本P153～155，思考并完成以下问题
1．直线与平面垂直的性质定理是什么？
2．什么是两平行平面间的距离？
3．你还知道直线与平面垂直的哪些性质？
课前预习
课前小测
1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A．相交 B．平行
C．异面 D．相交或平行
B
2．直线n⊥平面α，n∥l，直线m α，则l，m的位置关系是(　　)
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
α
n
l
m
D
n⊥α
n∥l
l⊥α
m α
l⊥m
3．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b与α相交
由线面垂直的性质定理可知，
当b⊥α，a⊥α时，a∥b.
C
4.如图，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__________.
∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
∵AF＝DE，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴EF＝AD＝6.
6
新课导入
回顾：
直线与平面垂直是如何定义的？
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足.
α
l
a
A
新课导入
回顾：
直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
a α，b α
a∩b＝P
l⊥a，l⊥b
l⊥α
图形表示
符号表示
关键：线不在多，相交则行
新知探究
观察
如图，长方体ABCD- A′B′C′D′中，棱AA′，BB′， CC′, DD′所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
观察
如图，已知直线a, b和平面α，如果a⊥α， b⊥α，那么直线a, b一定平行吗？
α
a
b
已知： a⊥α， b⊥α. 求证：a∥b.
证明：假设b不平行与a
O
b∩α=O
c是经过点O与直线a平行的直线
c
∵a∥c
a⊥α
∴c⊥α
即经过同一点O的两条直线b.c都垂直于平面α，这是不可能的.
∴a∥b
反证法
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行
②作平行线
a⊥α
b⊥α
a∥b
2．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
(4)定理的推证过程采用了反证法．
3．直线与平面垂直的性质
l⊥α
b α
l⊥b
a⊥α
b⊥α
a∥b
a∥b
a⊥α
b⊥α
α∥β
a⊥α
a⊥β
a⊥α
a⊥β
α∥β
4. 空间点、线、面的距离
(3)两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
(1)点到平面的距离
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
(2)平行于平面的直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　直线与平面垂直性质的应用
[例1]　如图所示，在正方体ABCD- A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
[证明]　因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
总结提升
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
证明线线平行常有如下方法
跟踪训练
1. 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB.
求证：a∥l.
证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
题型二　线与面垂直的判定与性质的综合
[例2]　如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
[证明]　因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
总结提升
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．
线线、线面垂直问题的解题策略
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
多维探究
1．[变设问]本例中条件不变，将“求证AE⊥SB”改为“判定在S，A，B，C，D，E，F，G中任两点的连线中与SC垂直的直线有多少条”，结论如何？
因为SC⊥平面AGFE，
所以A，G，F，E中的任何两点连线都和SC垂直，
所以此时共有6条直线与SC垂直．
又因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BD，
所以BD⊥平面SAC，所以BD⊥SC.
根据题意其他的线与SC均不垂直，所以与SC垂直的直线共有7条．
2．[变条件]本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
[例2]　如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G. 求证：AE⊥SB.
证明：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
随堂检测
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则(　　)
A．b⊥α B．b α
C．b∥α D．b∥α或b α
a
b
α
a
α
b α
b∥α
D
b
2．如图， ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)
A．0 B．3
C. D.
因为四边形ADEF为平行四边形，
所以AF∥DE且AF＝DE.
因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.
所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，
所以CE＝ ＝ ＝ .
D
3．在空间中，下列命题正确的是( )
A. 垂直于同一条直线的两直线平行
B. 平行于同一条直线的两个平面平行
C. 垂直于同一平面的两个平面平行
D. 垂直于同一平面的两条直线平行
D
可能平行、异面或相交
可能平行或相交
可能平行或相交
×
×
×
√
本课小结
1．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
2．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
3．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
通过本节课，你学会了什么？