人教版（2019）数学必修第二册8.6.3平面与平面垂直(2)课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直(2)
高一
必修二
本节目标
1. 掌握面面垂直的性质定理，能应用定理证明垂直关系．
2. 理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系
预习课本P159～161，思考并完成以下问题
1．平面与平面垂直的性质定理是什么？
2．两个平面互相垂直可以推出哪些结论？
课前预习
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
α
β
γ
α∥γ
α
β
α⊥γ
γ
α
β
α与γ相交但不垂直
γ
D
课前小测
2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则(　　)
A．m∥β B．m β
C．m⊥β D．m与β相交但不一定垂直
α⊥β
α∩β＝l
m α
m⊥l
m⊥β
C
3．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(　　)
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
直线a与直线b均不一定为两面的交线．
C
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是__________．
平行
α⊥β
α∩β＝l
n β
n⊥l
n⊥α
m⊥α
m∥n
新课导入
上节课已学内容：
平面与平面垂直的判定定理
定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
a
a
反过来，如果两个平面垂直，能推出什么结论？
新知探究
探究
如图，设，α∩β＝a. 则β内任意一条直线b与a有什么位置关系？相应地， b与α有什么位置关系？为什么？
a
b
显然， b与a平行或相交.
当b∥a时， b∥α；
当b与a相交时， b与α也相交.
a
b
特别的，当ba时，如图，设b与a的交点为A，过点A在内作直线ca，则直线b，c所成的角就是二面角- a- β的平面角.
由知， b c.
又因为ba， a 和c是内的两条相交直线，所以b.
a
b
A
c
由此可以得到平面与平面垂直的性质定理.
1．平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言 a⊥β
图形语言
作用 ①面面垂直 线面垂直
②作面的垂线
交线
2．对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
探究
设平面，点P在平面内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系？
P
a
b
P
b
c
c
a
如图，设,过点P在平面内作直线b c，根据平面与平面垂直的性质定理， b .因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线a与直线b重合，因此a .
平面与平面垂直的性质定理2
两平面垂直，过一个平面内一点，垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
a
P
a
c
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　利用面面垂直的性质定理证明垂直
[例1]　如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
[证明]　∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G为AD边的中点，
∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BG 平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴BG⊥平面PAD.
∵BG 平面PBG，
∴平面PBG⊥平面PAD.
[例1]　如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．△PAD为正三角形，其所在平面垂直于平面ABCD.若G为AD边的中点．
求证：平面PBG⊥平面PAD.
总结提升
应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直．
应用面面垂直性质定理要注意的问题
跟踪训练
1. 如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.
求证：BC⊥AC.
证明：如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD 平面PAC，
且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，又∵BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵AC 平面PAC，∴BC⊥AC.
D
题型二 线线、线面、面面垂直的综合
[例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点. 求证：(1)EN∥平面PDC；
[证明]　 ∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点．
∴MN∥BC且MN＝ BC，
又∵E为AD的中点， ∴MN∥DE且MN＝DE.
∴四边形DENM为平行四边形．
∴EN∥DM，且DM 平面PDC. ∴EN∥平面PDC.
[例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点. 求证：(2)BC⊥平面PEB；
[证明]　 ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，
∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PEB.
[例2]　如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点. 求证：(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[证明]　由(2)知AD⊥平面PBE，又PB 平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，
∴AN⊥PB. 且AN∩AD＝A，
∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
总结提升
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
跟踪训练
2. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
求证：(1)PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，△ABC是直角三角形．
2. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．求证：(1)PA⊥平面ABC；
证明：在平面ABC内任取一点D，
作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，
∴DF⊥PA. 同理可证，DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
证明：连接BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
2. 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．求证：(2)当E为△PBC的垂心时，△ABC是直角三角形．
H
随堂检测
1．已知平面α⊥平面β，直线l⊥平面α，则l与β的位置关系是(　　)
A．垂直 B．平行 C．l β D．平行或l β
D
l∥β或l β
2．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．
设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，
∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形．
直角
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD.
求证：AD⊥平面PCD.
证明：在矩形ABCD中，AD⊥CD，
因为平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD＝CD，
AD 平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD.
本课小结
1. 平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
2. 证明线面垂直的两种方法
线线垂直
线面垂直
面面垂直
线面垂直
3. 线线、线面、面面之间关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法
线线垂直
线面垂直
判定
面面垂直
判定
性质
通过本节课，你学会了什么？