人教版（2019）数学必修第二册9.2.4总体离散程度的估计课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
9.2.4 总体离散程度的估计
高一
必修二
本节目标
1. 结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，理解离散程度参数的统计含义.
2. 能够根据实际问题的需求，选择恰当的抽样方法获取样本数据，并从中提取需要的参数估计总体.
预习课本P209～213，思考并完成以下问题
1.什么是方差和标准差？什么是总体方差和标准差？什么是样本方差和标准差？
课前预习
2.怎样求分层随机抽样的方差？
课前小测
1．下列说法中正确的个数为(　　)
①数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；
②数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；
③数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；
④数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定．
A．1 B．2 C．3 D．4
数据的平均数则与样本数据的分布和稳定性无关．
×
数据的极差、标准差、方差都可以影响样本数据的分布和稳定性.
√
√
√
C
2．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
得s2＝ ×100－32＝1，
由s2＝
∴s＝1.
A
3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　)
A．9.4, 0.484 B．9.4, 0.016
C．9.5, 0.04 D．9.5, 0.016
＝9.5，
s2＝ (0.12×4＋0.22)＝0.016.
D
4．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派________参赛最为合适．
丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
丙
5．用一组样本数据8, x, 10, 11, 9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝______.
∴s＝.
∵该组样本数据的平均数为10，
∴(8＋x＋10＋11＋9)÷5＝10，
∴x＝12，
∴s2＝ (4＋4＋0＋1＋1)＝2，
新知探究
方差(标准差)
如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用s2表示．
s2＝ ，
方差的算术平方根为标准差，用s表示，即s＝ .
如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为s2a2.
对方差、标准差的理解
(5)方差s2＝ .
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
(3)标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
(4)标准差的单位与样本数据一致．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 标准差、方差、极差的计算
[例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60, 90, 85, 75, 65, 70, 80, 90, 95, 80；
乙组：85, 95, 75, 70, 85, 80, 85, 65, 90, 85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
[例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60, 90, 85, 75, 65, 70, 80, 90, 95, 80；
乙组：85, 95, 75, 70, 85, 80, 85, 65, 90, 85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
甲组：
最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为甲＝ ×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s甲2＝ ×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝＝ ≈10.91(分)．
[例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60, 90, 85, 75, 65, 70, 80, 90, 95, 80；
乙组：85, 95, 75, 70, 85, 80, 85, 65, 90, 85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
乙组：
最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为乙＝ ×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s乙2 ＝ ×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝ ＝ ≈8.67(分)．
总结提升
计算标准差的5步骤
1
2
3
4
5
求出样本数据的平均数.
求出每个样本数据与样本平均数的差xi－ (i＝1,2，…，n)．
求出xi－ (i＝1,2，…，n)的平方值．
求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．　　　　
跟踪训练
1．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
s2＝×[(1－4)2＋(3－4)2＋(5－4)2＋(7－4)2]＝5.
x2－5x＋4＝0的两根为1,4
当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；
当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1
所以a＝1，b＝4
C
2．一农场在同一块稻田中种植一种水稻，其连续8年的产量(单位：kg)如下：450,430,460,440,450,440,470,460，则该组数据的方差为________．
s2＝×[(450－450)2＋(430－450)2＋(460－450)2＋(440－450)2＋(450－450)2＋(440－450)2＋(470－450)2＋(460－450)2]＝150.
＝×(450＋430＋460＋440＋450＋440＋470＋460)
＝450
该组数据的平均数为
所以该组数据的方差为
150
题型二 总体离散程度的估计
[例2]　甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
[例2]　甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
甲＝ ×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7(环)，
乙＝ ×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7(环)．
(2)分别求出两组数据的方差；
由方差公式s2＝ [(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，
得＝3， ＝1.2.
(3)根据计算结果，估计两名战士的射击情况．若要从这两人中选一人参加射击比赛，选谁去合适？
[例2]　甲、乙两名战士在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
甲＝ 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又＞，说明甲战士射击情况波动比乙大．
因此，乙战士比甲战士射击情况稳定．
从成绩的稳定性考虑，应选择乙参加比赛．
总结提升
研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等性能好坏的这类题，先求平均数，比较一下哪一个更接近标准，若平均数相等，则再比较两个样本方差的大小来作出判断．
跟踪训练
3. 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
3. 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
甲＝ [99＋100＋98＋100＋100＋103]＝100，
乙＝ [99＋100＋102＋99＋100＋100]＝100，
＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝ ，
＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.
3. 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，从中抽取6件，测量数据为：
甲：99　100　98　100　100　103
乙：99　100　102　99　100　100
(2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
由(1)知甲＝ 乙，
故乙机床加工零件的质量更稳定．
比较它们的方差，
∵ ＞ ，
随堂检测
1．在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图1、2、3，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有(　　)
图1　　　　　　图2　　　　　　图3
A．s3＞s1＞s2　　 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s3＞s2＞s1
所给图是成绩分布图，平均分是75分，在图1中，集中在75分附近的数据最多，图3中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在任何一个数据附近，图2介于两者之间．由标准差的意义可得s3＞s2＞s1.
D
2．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为(　　)
A．1 B. C. D．2
∵样本容量n＝5
∴ ＝ (1＋2＋3＋4＋5)＝3
∴s
B
3．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝ 乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A．3 B．2 C．2.6 D．2.5
两个班的数学成绩平均数为＝ 甲＝ 乙
则两个班数学成绩的方差为
s2＝ [2＋(甲－ )2]＋ [3＋(乙－ )2]＝ ×2＋ ×3＝2.6
C
本课小结
1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．
通过本节课，你学会了什么？