人教版（2019）数学选择性必修一 1.2空间向量基本定理课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
空间向量基本定理
1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．
2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
本节目标
课前预习
空间向量基本定理的内容是什么？
(2) 在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？
预习课本P11～14，思考并完成以下问题
课前小测
1. 关于空间向量的四个命题中正确的是（ ）
A．若，则P、A、B三点共线
B．若，则M、A、B 、C四点共面
C．△ABC为直角三角形的充要条件是
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
D
2. 在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1，下列四对向量：
① 与；② 与；③ 与；④ 与．其中互为相反向量的有n对，则n=（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
√
√
B
3. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， ，若+y(+ ) ，则x=_________，y=_________.
1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
4. 空间四边形OABC中， ， ， 点M在OA上，且2 ，N为BC的中点，则=___________________. (用向量， ， )
O
A
B
C
M
N
新知探究
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c_________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个_______，a，b，c都叫做_________．
不共面
基底
基向量
2. 向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做_____________，常用{i，j，k}表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi、yj、zk，使a＝xi＋yj＋zk. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行_________.
单位正交基底
正交分解
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　空间向量基本定理的理解
[例1] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3， ＝－3e1＋e2＋2e3， ＝e1＋e2－e3，试判断{， ，}能否作为空间的一个基底？
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
方法总结
判断基底的方法
跟踪训练
1. 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
√
√
√
3
连接BO，则＝ ＝ (＋)＝ (c－b－a)＝－ a－ b＋ c.
＝＋＝－a＋ ＝－a＋(＋)＝－a－ b＋ c.
＝＋＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋ (－c＋b)＝－a＋ b＋ c.
＝ ＝ ＝ a.
题型二　用基底表示向量
[例2]　如图，四棱锥P- OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a， ＝b， ＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示： ， ， ， .
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．
解题策略
用基底表示向量的策略
跟踪训练
2. 如图所示，正方体OABC- O′A′B′C′，且＝a， ＝b， ＝c.
(1)用a，b，c表示向量， ；
＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝ ＋＋
＝＋－＝b＋c－a.
跟踪训练
2. 如图所示，正方体OABC- O′A′B′C′，且＝a， ＝b， ＝c.
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
连接OG，OH，
则＝ ＋ ＝－ ＋
＝－(＋ )＋ (＋ )
＝－ (a＋b＋c＋b)＋ (a＋b＋c＋c)＝ (c－b)．
法一
跟踪训练
2. 如图所示，正方体OABC- O′A′B′C′，且＝a， ＝b， ＝c.
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
法二
连接O′C，
则＝＝ (－ )
＝ (c－b).
题型三 空间向量基本定理的应用
[例3] 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为a的菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，
(1)求证：C1C⊥BD；
· = ·(+ )= · + ·
=|| ||cos<, >+ || ||cos<, >
= ||(acos120°+acos60°) = 0
∴C1C⊥BD
题型三 空间向量基本定理的应用
[例3] 如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为a的菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来. 进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.
解题策略
跟踪训练
3. 已知三棱锥O-ABC，OA=4，OB=5，OC=3，∠AOB=∠BOC=60°，∠COA=90°，M、N分别是棱OA、BC的中点，求：直线MN与AC所成角的余弦值.
随堂检测
1．已知O,A,B,C为空间四个点，又为空间的一个基底，则(　　)
A.O,A,B,C四点共线
B.O,A,B,C四点共面
C.O,A,B,C四点中任意三点不共线
D.O,A,B,C四点不共面
D
2．如图所示，在平行六面体中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且，设，用基底表示以下向量：
⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ .
3. 对空间中一点P，满足条件，试判断：点P与是否一定共面？
由题意： ，
∴
∴ ，故向量共面，所以，点P与共面.
4．已知空间四边形OABC中，，
M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证OG⊥BC.
如图，连接ON，
设， ， ，
则，
又
所以
所以
本课小结
1.空间向量基本定理的理解
2.用基底表示向量的策略
3.空间向量基本定理的应用