人教版（2019）数学选择性必修一 2.2.3直线的一般式方程课件(共41张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）数学选择性必修一 2.2.3直线的一般式方程课件(共41张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-10 21:01:11 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
直线的一般式方程
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．
2.能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化．
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
本节目标
课前预习
预习课本P64～66，思考并完成以下问题
1．怎样求一般式表示的直线的斜率与截距？
2．直线与二元一次方程之间的关系是怎样的？
课前小测
1．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＋12＝0
C
2．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
3．与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
B
新知探究
一、直线与二元一次方程的关系
在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下
直线
二元一次方程
一一对应
一一对应
关于x、y的二元一次方程________________；
二、直线的一般式方程
A、B______________．
Ax＋By＋C＝0
不同时为零
式子
条件
三、直线的一般式方程与其他四种形式的转化
一般式Ax+By+C=0
(A,B不
同时为0)
点斜式
斜截式
两点式
截距式
B≠0
B≠0
AB≠0
ABC≠0
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 求直线方程的一般式
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；
因为k＝2，且经过点A(1,3)，
由直线的点斜式可得y－3＝2(x－1)，
整理可得2x－y＋1＝0，
所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；
直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4
直线的斜截式为y＝ x＋4
整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
直线经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)
由直线的两点式可得，
整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
由直线的截距式可得 ＋＝1，
整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
直线在x，y轴上的截距分别为2，－4
求直线方程的一般式，表面上需求A、B、C三个数，由于A、B不同时为零．
当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求， 的值；
当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定， 的值．
因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
技法点拨
技法点拨
点斜式、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线
两点式不能表示两点的横坐标相等、纵坐标相等的直线
截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线
一般式可以表示任何类型的直线而不受条件限制
解题策略
直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以在适当条件下化成其他形式．
在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程．
跟踪训练
1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－6)的直线方程为____________；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴的直线方程为___________；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为____________；
(4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________．
x＋y－1＝0
x＋2y＋4＝0
y－2＝0
2x－y－3＝0
题型二 一般式直线方程的综合应用
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.
∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1,3)，
由点斜式知方程为y－3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
方法一
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
方法一
∵l′与l垂直
∴l′的斜率为
又l′过点(－1,3)
由点斜式可得方程为y－3＝ (x＋1)
即4x－3y＋13＝0.
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
方法二
由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
方法二
由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件列方程求出C1；
与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列方程求出C2.
技巧点拨
跟踪训练
2．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
题型三 由一般式直线方程判断位置关系
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝ ≠ .
解得m＝2或m＝－3，
∴m的值为2或－3.
方法一
[例3] (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
方法一
由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，
k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
方法二
令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
[例3] (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
方法二
由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
方法总结
根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
方法总结
若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误．
根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
跟踪训练
3．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是________．
因为l1∥l2，
所以2×1－(λ＋1)λ＝0，
即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.
当λ＝1时，l1与l2重合，不符合题意．
所以λ＝－2.
－2
随堂检测
1．已知直线x＋y＋1＝0，则直线的倾斜角为( )
A．60° B．－60°
C．150° D．120°
D
2．直线y＝ x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．
令x＝0，得yA＝－2；令y＝0，得xB＝3，
∴S△AOB＝ ×2×3＝3.
3
3．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是_____________________________．
设所求直线方程为3x＋4y＝a(a≠0)，
则直线与两坐标轴的交点分别为(,0)，(0, )，
∴ ×| |×| |＝24，解得a＝±24，
∴直线l的方程为3x＋4y＝±24.
3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；
任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．
本课小结
本课小结
对于直线Ax＋By＋C＝0
当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；
当B＝0时，在x轴上的截距为－；
当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
通过本节课，你掌握了哪些？
直线的一般式方程
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系．
2.能正确地进行一般式方程与特殊形式的方程的转化．
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
本节目标
课前预习
预习课本P64～66，思考并完成以下问题
1．怎样求一般式表示的直线的斜率与截距？
2．直线与二元一次方程之间的关系是怎样的？
课前小测
1．直线＋＝1化成一般式方程为( )
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＋12＝0
C
2．若直线l的一般式方程为2x－y＋1＝0，则直线l不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D
3．与直线x＋y－1＝0垂直的直线的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
B
新知探究
一、直线与二元一次方程的关系
在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下
直线
二元一次方程
一一对应
一一对应
关于x、y的二元一次方程________________；
二、直线的一般式方程
A、B______________．
Ax＋By＋C＝0
不同时为零
式子
条件
三、直线的一般式方程与其他四种形式的转化
一般式Ax+By+C=0
(A,B不
同时为0)
点斜式
斜截式
两点式
截距式
B≠0
B≠0
AB≠0
ABC≠0
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 求直线方程的一般式
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为2，且经过点A(1,3)；
因为k＝2，且经过点A(1,3)，
由直线的点斜式可得y－3＝2(x－1)，
整理可得2x－y＋1＝0，
所以直线的一般式方程为2x－y＋1＝0.
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(2)斜率为，且在y轴上的截距为4；
直线的斜率k＝，且在y轴上的截距为4
直线的斜截式为y＝ x＋4
整理可得直线的一般式方程为x－y＋4＝0
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(3)经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)；
直线经过两点A(2，－3)，B(－1，－5)
由直线的两点式可得，
整理得直线的一般式方程为2x－3y－13＝0.
[例1] 根据下列条件求解直线的一般式方程．
(4)在x，y轴上的截距分别为2，－4.
由直线的截距式可得 ＋＝1，
整理得直线的一般式方程为2x－y－4＝0.
直线在x，y轴上的截距分别为2，－4
求直线方程的一般式，表面上需求A、B、C三个数，由于A、B不同时为零．
当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求， 的值；
当B≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需确定， 的值．
因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
技法点拨
技法点拨
点斜式、斜截式方程不能表示斜率不存在的直线
两点式不能表示两点的横坐标相等、纵坐标相等的直线
截距式不能表示过原点及与坐标轴垂直的直线
一般式可以表示任何类型的直线而不受条件限制
解题策略
直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以在适当条件下化成其他形式．
在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程．
跟踪训练
1．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－，经过点A(8，－6)的直线方程为____________；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴的直线方程为___________；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为____________；
(4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________．
x＋y－1＝0
x＋2y＋4＝0
y－2＝0
2x－y－3＝0
题型二 一般式直线方程的综合应用
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.
∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1,3)，
由点斜式知方程为y－3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
方法一
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
方法一
∵l′与l垂直
∴l′的斜率为
又l′过点(－1,3)
由点斜式可得方程为y－3＝ (x＋1)
即4x－3y＋13＝0.
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
方法二
由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
[例2] 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
方法二
由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0，再由其他条件列方程求出C1；
与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，再由其他条件列方程求出C2.
技巧点拨
跟踪训练
2．(1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程；
(2)求经过点A(2,1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．
题型三 由一般式直线方程判断位置关系
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝ ≠ .
解得m＝2或m＝－3，
∴m的值为2或－3.
方法一
[例3] (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
方法一
由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0，且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，
k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，即(－)·(－)＝－1，∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
[例3] (1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
方法二
令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
[例3] (2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
方法二
由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
方法总结
根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
方法总结
若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误．
根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
跟踪训练
3．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是________．
因为l1∥l2，
所以2×1－(λ＋1)λ＝0，
即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.
当λ＝1时，l1与l2重合，不符合题意．
所以λ＝－2.
－2
随堂检测
1．已知直线x＋y＋1＝0，则直线的倾斜角为( )
A．60° B．－60°
C．150° D．120°
D
2．直线y＝ x－2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．
令x＝0，得yA＝－2；令y＝0，得xB＝3，
∴S△AOB＝ ×2×3＝3.
3
3．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是_____________________________．
设所求直线方程为3x＋4y＝a(a≠0)，
则直线与两坐标轴的交点分别为(,0)，(0, )，
∴ ×| |×| |＝24，解得a＝±24，
∴直线l的方程为3x＋4y＝±24.
3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0
在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；
任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．
本课小结
本课小结
对于直线Ax＋By＋C＝0
当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；
当B＝0时，在x轴上的截距为－；
当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
通过本节课，你掌握了哪些？