人教版（2019）数学选择性必修一 2.3直线的交点坐标与距离公式（2）课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
直线的交点坐标与距离公式(2)
1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题．
2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.
本节目标
课前预习
预习课本P74～78，思考并完成以下问题
1．点到直线的距离公式是什么？
2．两条平行直线间的距离公式是什么？
课前小测
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1 B.
C．2 D.
D
2．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　　)
A. B.
C．5 D.
A
3．点A(2，t)到直线y＝0的距离为5，则t＝________.
±5
新知探究
一、点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________.
x
y
l
P
Q
d
二、两条平行直线间的距离
定义
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间__________的长.
垂线段
求法
转化为一条直线上的______到另一条直线的______.
点
距离
公式法
两条直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=__________
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　点到直线的距离
[例1]　过B(3,4)作直线l，使之与点A(1,1)的距离等于2，求直线l的方程．
当所求直线与x轴垂直时，直线方程为x＝3，点A(1,1)到它的距离为2，满足题意．
当所求直线与x轴不垂直时，由题意可设直线的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0.
由点A到它的距离为2，可得2＝ ，解得k＝，
所以直线方程为y－4＝ (x－3)，即5x－12y＋33＝0.
综上，所求直线的方程为x＝3或5x－12y＋33＝0.
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
要点提示
跟踪训练
1．求过点M(－2,1)且与A(－1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程．
当斜率存在时，设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0.
由条件得＝ ，
解得k＝0，或k＝－ .
故所求的直线方程为y＝1，或x＋2y＝0.
当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线．
题型二　两平行线间的距离
[例2]　求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．
设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.
由直线l与两条平行线的距离相等，
得＝ ，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.
故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.
求解两平行线间的距离，一般转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求；
求两平行线间的距离时也可用如下公式：
设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，
则两平行直线间的距离为d＝ .
求两平行线间的距离的方法
方法总结
跟踪训练
2．直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求l1、l2的方程．
若l1、l2的斜率存在，设为k.
由点斜式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.
由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.
在直线l1上取点A(0,1)，点A到直线l2的距离d＝ ＝5，
∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25. ∴k＝ .
∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，
它们之间的距离为5，同样满足条件．
题型三　距离公式的综合应用
[例3]　已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P是第一象限的点；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．
[例3]　已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(1)求a的值；
因为l2可化为2x－y－＝0，
所以l1与l2的距离为d＝ ＝.
因为a>0，所以a＝3.
[例3]　已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1与l2的距离是.
(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：
①点P是第一象限的点；
②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；
③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由．
设存在点P(x0，y0)满足②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且，即c＝ 或c＝ .
所以满足条件②的点P满足2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|. 所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0.
因为点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得(舍去)，
联立方程2x0－y0＋＝0和x0－2y0＋4＝0，
解得
所以P(, )即为同时满足条件的点．
解决探索性问题时，可先假设需探究的问题存在，以此为出发点寻找满足的条件．若求出的结论符合要求，则问题有解．若求出的结论与要求不符，则说明原探究问题无解．另外，运用公式解决问题要注意适用的范围及使用特点．
方法总结
跟踪训练
3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(1)d的变化范围；
当两条直线的斜率不存在时，
即两条直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.
当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为：
l1：y－2＝k(x－6)，l2：y＋1＝k(x＋3)，即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0，∴d＝ ＝ .
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，由题意知k∈R，且d≠9，d>0，
∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，即0综合上述可知所求d的变化范围为(0,3]．
3．两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3,－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求：
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
由(1)知dmax＝3，则k＝－3，
此时两条直线分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
随堂检测
1．若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是(　　)
A．1 B．－3 C．1或 D．－3或
d＝ ＝ ＝4
∴|16－12k|＝52，
∴16－12k＝52或16－12k＝－52，
∴k＝－3或k＝ .
D
2．直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　　)
A．4 B. C. D.
D
方程6x＋my＋1＝0可等价转化为3x＋y＋＝0，∵两直线平行，∴m＝2，即3x＋y＋＝0，
∴d＝ .
3．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值等于(　　)
A．0或－ B. 或－6
C．－或 D．0或
依题意得，∴|3m＋5|＝|m－7|，
∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，
∴m＝－6或m＝ .
B
1．应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝ 的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．
本课小结
本课小结
2．两条平行线间的距离处理方法有两种
一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的化归转化思想．
二是直接套用公式d＝，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同．
通过本节课，你学会了什么？