人教版（2019）数学选择性必修一 2_4_1圆的标准方程 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
圆的标准方程
1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．
2．会根据已知条件求圆的标准方程．
3．能准确判断点与圆的位置关系．
本节目标
课前预习
预习课本P82～85，思考并完成以下问题
1．确定圆的几何要素有哪些？
2．圆的标准方程是什么？
3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去判断？
课前小测
1．圆x2＋y2＝1的圆心为(　　)
A．(0,0) B．(1,1) C．(0,1) D．不存在
A
2．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
B
3．过点A(1，－1)与B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程为(　　)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
B
新知探究
一、圆的定义及标准方程
平面内到一定点的距离等于______的点的轨迹是圆，______是圆心，______是圆的半径．
圆的定义
定长
定点
定长
定点
定长
一、圆的定义及标准方程
以C(a，b)为圆心，r(r＞0)为半径的圆的标准方程为______________________.
以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为_____________.
圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
二、点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系：
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d与r的关系 ________ _______ _______
d＞r
d＝r
d＜r
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　求圆的标准方程
[例1]　求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
[例1]　求下列圆的标准方程：
(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；
圆心C(4，－1)，
半径r＝ ，
圆的方程为(x－4)2＋(y＋1)2＝10.
[例1]　求下列圆的标准方程：
(2)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
设圆心C(0，b)，
∴r＝ ＝5，
∴(4＋b)2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆的方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
[例1]　求下列圆的标准方程：
(3)求过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆的标准方程．
设圆心M(a,0)，
∵|MC|＝|MD|
∴(a＋1)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，
即a2＋2a＋1＋1＝a2－2a＋1＋9，
∴a＝2，r＝|MC|＝
∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
①要准确记忆方程的形式；
②从方程上看要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之，如果已知圆的标准方程，也能直接得到圆的圆心坐标和半径；
③求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写出方程．
对于圆的标准方程的几点认识
反思感悟
跟踪训练
1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)，求该三角形的外接圆的方程．
设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
解得
法一
跟踪训练
1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)，求该三角形的外接圆的方程．
法二
A(0,5)，B(1,－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝(x－)，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长r＝ ＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
题型二　点与圆的位置关系
[例2]　已知圆C的圆心为C(－3,－4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(－1,0)，M2(1,－1)，M3(3,－4)与圆C的位置关系．
[例2]　已知圆C的圆心为C(－3,－4)，且过原点O，求圆C的标准方程，并判断点M1(－1,0)，M2(1,－1)，M3(3,－4)与圆C的位置关系．
因为圆C过原点O，圆心为C(－3,－4)，所以圆C的半径长
r＝|OC|＝＝5，
因此圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20<25，所以点M1(－1,0)在圆C内；
因为(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M2(1,－1)在圆C上；
因为(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36>25，所以点M3(3,－4)在圆C外．
点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上和点在圆外．判断点与圆的位置关系一般有以下两种方法：
已知点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)利用点M到圆心C的距离与半径作比较
(2)利用圆的标准方程判断
方法总结
(1)利用点M到圆心C的距离与半径作比较
①若|MC|②若|MC|＝r，则点M在圆上；
③若|MC|>r，则点M在圆外．
(2)利用圆的标准方程判断
①若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点M在圆外；
②若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点M在圆上；
③若(x0－a)2＋(y0－b)2方法总结
跟踪训练
2．已知点A(1,2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．
∵点A在圆内部
∴(1－a)2＋(2＋a)2<2a2，
∴2a＋5<0，∴a<－，
∴a的取值范围是.
题型三　圆的标准方程的应用
[例3]　如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求：
(1) 的最大值与最小值；
(2)x＋y的最大值与最小值；
(3)x2＋y2的最大值与最小值．
[例3]　如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求：
(1) 的最大值与最小值；
设P(x，y)，则P点的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.
的几何意义就是直线OP的斜率(O为坐标原点)，如图①所示，
设＝k，则直线OP的方程为y＝kx.
由图①可知，当直线OP与圆相切时，斜率取最值．
∵点C到直线y＝kx的距离d＝，
∴当＝，即k＝3±2时，直线OP与圆相切．
∴ 的最大值与最小值分别是3＋2和3－2.
[例3]　如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求：
(2)x＋y的最大值与最小值；
设x＋y＝b，则y＝－x＋b，
由图②所示，当直线与圆相切时截距b取最值．
而圆心C到直线y＝－x＋b的距离为d＝ .
∵当＝，
即b＝6±2时，直线y＝－x＋b与圆相切，
∴x＋y的最大值与最小值分别为6＋2与6－2.
[例3]　如果实数x、y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6. 求：
(3)x2＋y2的最大值与最小值．
z＝x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示圆上动点与原点连线距离的平方，而|OC|＝3.
∴zmax＝(3＋)2＝24＋12.
zmin＝(3－)2＝24－12.
①形如u＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
与圆有关的最值问题常见的类型
归纳总结
跟踪训练
3．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求y－x的最大值与最小值．
3．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值与最小值；
设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
3．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3.
(2)求y－x的最大值与最小值．
设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
随堂检测
1．已知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－3)2＝29 B．(x－1)2＋(y＋3)2＝29
C．(x＋1)2＋(y－3)2＝116 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝116
圆C的圆心为AB的中点C(1，－3)，
半径r＝ ＝ ＝ ＝
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
B
2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A．－1C．a<－1或a>1 D．－1A
∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)2＋(1＋a)2<4.
解得－13．已知一个圆经过两个点A(2，－3)和B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求此圆的方程．
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由已知条件得
解得
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？