人教版（2019）数学选择性必修一 3.1.2椭圆方程及性质的应用 课件（共45张PPT）

(共45张PPT)
椭圆方程及性质的应用
1．掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系及其研究方法，并能利用相关性质解决一些简单的综合问题．
2．通过本节课的学习，进一步全面理解椭圆的几何性质，培养综合利用知识灵活解决问题的能力．
本节目标
课前预习
预习课本P113～114，思考并完成以下问题
1．点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？
2．直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？
课前小测
1．已知点(2,3)在椭圆＝1上，则下列说法正确的是(　　)
A．点(－2,3)在椭圆外 B．点(3,2)在椭圆上
C．点(－2,－3)在椭圆内 D．点(2,－3)在椭圆上
D
2．直线y＝x＋1被椭圆＝1所截得的弦的中点坐标是(　　)
A. B．
C. D.
C
3．设F1，F2分别是椭圆＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
4
新知探究
1．点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＝1；
点P在椭圆内部 <1；
点P在椭圆外部 >1.
2．直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)位置关系的判断方法：
当Δ>0时，方程_________，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程________，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程_________，直线与椭圆相离．
联立
y＝kx＋m
＝1
消y得一元二次方程．
有两解
有一解
无解
3．直线与椭圆相交的弦长公式
连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
定义
求弦长的方法
①交点法
②根与系数的关系法
3．直线与椭圆相交的弦长公式
将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
①交点法
②根与系数的关系法
|AB|＝＝ .
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　直线与椭圆的位置关系
[例1] 对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系．
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.
y＝x＋m
＝1
由
消去y，
得＋(x＋m)2＝1，
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．
当－0，直线与椭圆相交；
当m＝－或m＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；
当m<－或m>时，Δ<0，直线与椭圆相离．
判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则
Δ>0 直线与椭圆相交；
Δ＝0 直线与椭圆相切；
Δ<0 直线与椭圆相离．
方法总结
跟踪训练
1. 若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，求m的取值范围．
∵直线y＝kx＋1过定点A(0,1)．
由题意知，点A在椭圆＋＝1内或椭圆上，
∴ ＋≤1，∴m≥1.
又椭圆焦点在x轴上∴m<5，
故m的取值范围为[1,5).
题型二　弦长及中点弦问题
[例2]　 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l被椭圆截得的弦长．
[例2]　 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程；
法一 根与系数关系法
由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，
而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.
所以x1＋x2＝ ＝8，解得k＝－.
所以直线l的方程为y－2＝－ (x－4)，即x＋2y－8＝0.
[例2]　 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(1)求直线l的方程；
法二 点差法
两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0.
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x12＋4y12－36＝0
所以
x22＋4y22－36＝0
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，
即k＝－.所以直线l的方程为x＋2y－8＝0.
[例2]　 已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．
(2)求直线l被椭圆截得的弦长．
由题意可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x＋14＝0.
法二：因为x1＋x2＝8，x1x2＝14.
法一：解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
.
所以直线l被椭圆截得的弦长为.
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.
方法总结
点差法求中点弦
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
由①－②，得(－)＋ (－)＝0，变形得，即kAB＝－ .　　　　　　
则
＝1
＝1
方法总结
跟踪训练
2. 已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.
证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
2. 已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(1)求C的方程；
由题意有＝ ， ＝1，
解得a2＝8，b2＝4.
所以C的方程为＝1.
2. 已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．
将y＝kx＋b代入＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故xM＝ ＝，yM＝k·xM＋b＝.
于是直线OM的斜率kOM＝ ＝－，即kOM·k＝－.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
法一
2. 已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
法二
∴kAB＝ .
又kOM＝ ，∴kAB·kOM＝－.
∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，
则
＝1
＝1
①
②
①－②得 ＝0，
题型三 与椭圆有关的综合问题
[例3] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且点P(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
[例3] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且点P(2,1)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
由题意得
∴椭圆C的方程为＝1.
＝1
∴
[例3] 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： ＝1(a>b>0)的离心率e＝ ，且点P(2,1)在椭圆C上．
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
联立
得3x2－4mx＋2m2－6＝0，
y＝－x＋m
＝1
∴|AB|＝ ，
∴
∴S△OAB＝ × ·＝ ≤ · ＝.
当且仅当m＝±时，等号成立，∴△AOB面积的最大值为.
∵原点到直线的距离d＝ .
(1)定义法
利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法
利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法
探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
方法总结
跟踪训练
3. 已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P 到F1，F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
3. 已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P 到F1，F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标；
由题意得2a＝4，得a＝2，
又点P 在椭圆＝1上，
∴ ＝1，解得b2＝1.
∴椭圆C的方程为＋y2＝1，
焦点F1(－，0)，F2(，0)．
3. 已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P 到F1，F2的距离和等于4.
(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
由题意得直线l的斜率存在且不为0，
设l：y＝kx＋2，代入＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)·12＝16(4k2－3)>0，得k2> . ①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
∵∠AOB为锐角，∴cos ∠AOB>0，则＝x1x2＋y1y2>0，
又y1y2＝(kx1＋2)·(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)· ＋2k·(－ )＋4＝ >0，
∴k2<4. ②
由①②得∴k的取值范围是(－2,－)∪(,2).
3. 已知椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，左、右焦点分别是F1，F2，若椭圆C上的点P 到F1，F2的距离和等于4.
(2)直线l过定点M(0,2)，且与椭圆C交于不同的两点A，B，若∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
随堂检测
1．已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A. ＝1 B. ＝1
C. ＝1 D. ＝1
D
2．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|的值．
2．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2 ＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，
其方程为＝1(x≠－2)．
2．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2 ＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|的值．
对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，
则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，
由l与圆M相切得＝1，解得k＝± ，
当k＝ 时，y＝ x＋ ，代入＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝ .所以|AB|＝ |x2－x1|＝ .
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝ .
综上，|AB|＝2或|AB|＝ .
3．设椭圆E： ＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
3．设椭圆E： ＝1的焦点在x轴上．
(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
因为焦距为1，所以2a2－1＝ ，
解得a2＝ .
故椭圆E的方程为＝1.
3．设椭圆E： ＝1的焦点在x轴上．
(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．
证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝ .
由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝ ，直线F2P的斜率kF2P＝ .
故直线F2P的方程为y＝ (x－c)．
当x＝0时，y＝，即点Q坐标为(0, ).
因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝ .
由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝ · ＝－1.化简得＝ －(2a2－1)．①
将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，
即点P在定直线x＋y＝1上．
本课小结
直线与椭圆位置关系的判断方法
方法一
本课小结
求直线与椭圆的交点
用两点间距离公式求解
方法二
条件 直线l：y＝kx＋m，椭圆： ＝1(a>b>0)．
直线与椭圆相交时弦长的两种求法
本课小结
注意：有时为了方便，也可联立方程组消去x，利用公式|AB|＝ |y2－y1|＝ 求解．
通过本节课，你学会了什么？