人教版(2019)数学选择性必修一 3.1.2椭圆方程及性质的应用 课件(共45张PPT)

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名称 人教版(2019)数学选择性必修一 3.1.2椭圆方程及性质的应用 课件(共45张PPT)
格式 pptx
文件大小 2.6MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-11-10 21:06:19

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文档简介

(共45张PPT)
椭圆方程及性质的应用
1.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系及其研究方法,并能利用相关性质解决一些简单的综合问题.
2.通过本节课的学习,进一步全面理解椭圆的几何性质,培养综合利用知识灵活解决问题的能力.
本节目标
课前预习
预习课本P113~114,思考并完成以下问题
1.点与椭圆的位置关系有哪几种?如何判断?
2.直线与椭圆有哪几种位置关系?如何确定?
课前小测
1.已知点(2,3)在椭圆=1上,则下列说法正确的是(  )
A.点(-2,3)在椭圆外 B.点(3,2)在椭圆上
C.点(-2,-3)在椭圆内 D.点(2,-3)在椭圆上
D
2.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是(  )
A. B.
C. D.
C
3.设F1,F2分别是椭圆=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为________.
4
新知探究
1.点与椭圆的位置关系
点P(x0,y0)与椭圆=1(a>b>0)的位置关系:
点P在椭圆上 =1;
点P在椭圆内部 <1;
点P在椭圆外部 >1.
2.直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆=1(a>b>0)位置关系的判断方法:
当Δ>0时,方程_________,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,方程________,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,方程_________,直线与椭圆相离.
联立
y=kx+m
=1
消y得一元二次方程.
有两解
有一解
无解
3.直线与椭圆相交的弦长公式
连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.
定义
求弦长的方法
①交点法
②根与系数的关系法
3.直线与椭圆相交的弦长公式
将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求.
如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则弦长公式为:
①交点法
②根与系数的关系法
|AB|== .
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 直线与椭圆的位置关系
[例1] 对不同的实数值m,讨论直线y=x+m与椭圆+y2=1的位置关系.
整理得5x2+8mx+4m2-4=0.
y=x+m
=1

消去y,
得+(x+m)2=1,
Δ=(8m)2-4×5(4m2-4)=16(5-m2).
当-0,直线与椭圆相交;
当m=-或m=时,Δ=0,直线与椭圆相切;
当m<-或m>时,Δ<0,直线与椭圆相离.
判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则
Δ>0 直线与椭圆相交;
Δ=0 直线与椭圆相切;
Δ<0 直线与椭圆相离.
方法总结
跟踪训练
1. 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,求m的取值范围.
∵直线y=kx+1过定点A(0,1).
由题意知,点A在椭圆+=1内或椭圆上,
∴ +≤1,∴m≥1.
又椭圆焦点在x轴上∴m<5,
故m的取值范围为[1,5).
题型二 弦长及中点弦问题
[例2]  已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l被椭圆截得的弦长.
[例2]  已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.
(1)求直线l的方程;
法一 根与系数关系法
由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程有
(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
所以x1+x2= =8,解得k=-.
所以直线l的方程为y-2=- (x-4),即x+2y-8=0.
[例2]  已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.
(1)求直线l的方程;
法二 点差法
两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)·(y1-y2)=0.
设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
x12+4y12-36=0
所以
x22+4y22-36=0
又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,
即k=-.所以直线l的方程为x+2y-8=0.
[例2]  已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点.
(2)求直线l被椭圆截得的弦长.
由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0,联立椭圆方程得x2-8x+14=0.
法二:因为x1+x2=8,x1x2=14.
法一:解方程得
所以直线l被椭圆截得的弦长为
.
所以直线l被椭圆截得的弦长为.
(1)根与系数关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决;
解决椭圆中点弦问题的两种方法
(2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.
方法总结
点差法求中点弦
已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,
由①-②,得(-)+ (-)=0,变形得,即kAB=- .      

=1
=1
方法总结
跟踪训练
2. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.
证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
2. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(1)求C的方程;
由题意有= , =1,
解得a2=8,b2=4.
所以C的方程为=1.
2. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. 证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
将y=kx+b代入=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.
故xM= =,yM=k·xM+b=.
于是直线OM的斜率kOM= =-,即kOM·k=-.
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
法一
2. 已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上.
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M. 证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
法二
∴kAB= .
又kOM= ,∴kAB·kOM=-.
∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),

=1
=1


①-②得 =0,
题型三 与椭圆有关的综合问题
[例3] 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e= ,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
[例3] 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e= ,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
由题意得
∴椭圆C的方程为=1.
=1

[例3] 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e= ,且点P(2,1)在椭圆C上.
(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
设直线AB的方程为y=-x+m,
联立
得3x2-4mx+2m2-6=0,
y=-x+m
=1
∴|AB|= ,

∴S△OAB= × ·= ≤ · =.
当且仅当m=±时,等号成立,∴△AOB面积的最大值为.
∵原点到直线的距离d= .
(1)定义法
利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法
利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解.
(3)函数法
探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围.
求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
方法总结
跟踪训练
3. 已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆C上的点P 到F1,F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
3. 已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆C上的点P 到F1,F2的距离和等于4.
(1)写出椭圆C的方程和焦点坐标;
由题意得2a=4,得a=2,
又点P 在椭圆=1上,
∴ =1,解得b2=1.
∴椭圆C的方程为+y2=1,
焦点F1(-,0),F2(,0).
3. 已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆C上的点P 到F1,F2的距离和等于4.
(2)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
由题意得直线l的斜率存在且不为0,
设l:y=kx+2,代入+y2=1,整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-4(1+4k2)·12=16(4k2-3)>0,得k2> . ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=- ,x1x2= .
∵∠AOB为锐角,∴cos ∠AOB>0,则=x1x2+y1y2>0,
又y1y2=(kx1+2)·(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)· +2k·(- )+4= >0,
∴k2<4. ②
由①②得∴k的取值范围是(-2,-)∪(,2).
3. 已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆C上的点P 到F1,F2的距离和等于4.
(2)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若∠AOB为锐角(O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
随堂检测
1.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )
A. =1 B. =1
C. =1 D. =1
D
2.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2 =9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|的值.
2.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2 =9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2 =4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),
其方程为=1(x≠-2).
2.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2 =9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(2)l是与圆P、圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|的值.
对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,
所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,
则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),
由l与圆M相切得=1,解得k=± ,
当k= 时,y= x+ ,代入=1,并整理得7x2+8x-8=0,
解得x1,2= .所以|AB|= |x2-x1|= .
当k=-时,由图形的对称性可知|AB|= .
综上,|AB|=2或|AB|= .
3.设椭圆E: =1的焦点在x轴上.
(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.
3.设椭圆E: =1的焦点在x轴上.
(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
因为焦距为1,所以2a2-1= ,
解得a2= .
故椭圆E的方程为=1.
3.设椭圆E: =1的焦点在x轴上.
(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.
证明:设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c= .
由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率kF1P= ,直线F2P的斜率kF2P= .
故直线F2P的方程为y= (x-c).
当x=0时,y=,即点Q坐标为(0, ).
因此,直线F1Q的斜率为kF1Q= .
由于F1P⊥F1Q,所以kF1P·kF1Q= · =-1.化简得= -(2a2-1).①
将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,
即点P在定直线x+y=1上.
本课小结
直线与椭圆位置关系的判断方法
方法一
本课小结
求直线与椭圆的交点
用两点间距离公式求解
方法二
条件 直线l:y=kx+m,椭圆: =1(a>b>0).
直线与椭圆相交时弦长的两种求法
本课小结
注意:有时为了方便,也可联立方程组消去x,利用公式|AB|= |y2-y1|= 求解.
通过本节课,你学会了什么?