人教版（2019）数学选择性必修一 3.1.1椭圆及其标准方程 课件（共41张PPT）

(共41张PPT)
椭圆及其标准方程
1．掌握椭圆的定义．
2．掌握椭圆标准方程的两种形式．
3．能根据条件确定椭圆的标准方程．
本节目标
课前预习
预习课本P105～109，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？
2．椭圆的标准方程是什么？
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆(　　)
课前小测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆(　　)
(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆(　　)
×
√
×
2．若椭圆＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
C
3．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　)
A．4 B．5
C．8 D．10
D
4．若椭圆的焦距为6，a－b＝1，则椭圆的标准方程为________________________．
＝1或＝1
新知探究
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的___________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_______，______________叫做椭圆的焦距．
距离的和等于常数(大于|F1F2|)
焦点
两焦点间的距离
定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：
①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；
②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．
易错提醒
2．椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 __________________ ___________________
图　形
焦点坐标 ________________ _________________
a，b，c的关系 c2＝_____________ (a>b>0)
(a>b>0)
(－c,0)，(c,0)
(0,－c)，(0，c)
a2－b2
(1)几何特征
椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上．
(2)代数特征
方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值.
椭圆的标准方程的特征
知识点睛
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　求椭圆的标准方程
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
椭圆的焦点在x轴上，
故设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.
∴椭圆的标准方程为＋ ＝1.
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,－2)，(0,2)，并且椭圆经过点；
椭圆的焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义，知2a＝＋＝ ＋ ＝2，
∴a＝.
又∵c＝2，∴b2＝a2－c2＝10－4＝6.
∴椭圆的标准方程为＝1.
[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(3)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝.
∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6. ①
又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6，
∴b2＝2，∴a2＝8.
又∵椭圆的焦点在x轴上，
∴椭圆的标准方程为＋ ＝1.
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
技法点拨
跟踪训练
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)， (－1，) ；
(2)过点(，－)，且与椭圆＋ ＝1有相同的焦点．
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)， (－1，) ；
若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
法一分类讨论法
所以所求椭圆的标准方程为＋ ＝1.
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)， (－1，) ；
法一分类讨论法
若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋ ＝1(a>b>0)．
由已知条件得解得
则a2b>0矛盾，舍去．
综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
得解得
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，－)， (－1，) ；
法二待定系数法
设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－) ，(－1，) 代入，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(2)过点(,－)，且与椭圆＋ ＝1有相同的焦点．
因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋ ＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点(，－)在椭圆上，
所以＋ ＋＝1，即＋ ＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋ ＝1.
题型二 椭圆的定义及其应用
[例2]　 (1)已知椭圆的方程为＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为(　　)
A．10 B．20
C．2 D．4
D
∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．又c＝4，
∴a2－25＝42，∴a＝.由椭圆的定义知△ABF2的周长＝|BA|＋|F2B|＋|F2A|＝|BF1|＋|BF2|＋|AF1|＋|AF2|＝4a＝4.
由已知得a＝2，b＝，所以c＝ ＝ ＝1，|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
(2)如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
即|PF2|＝4－|PF1|. ②
将②代入①解得|PF1|＝ .
所以S△PF1F2＝ |PF1|·|F1F2|·sin 120°＝ × ×2× ＝ ，
即△PF1F2的面积是.
①椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
②涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
椭圆定义的应用技巧
技法点拨
跟踪训练
2. 如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆的标准方程为____________．
设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，焦距为2c，
则由已知得c＝1，|F1F2|＝2，
所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以椭圆的标准方程为＝1.
＝1
3.已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.
由题意，得a2＝9，∴a＝3，
c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝，∴|F1F2|＝2.
∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.
∴cos∠F1PF2＝ ＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
120°
由中点坐标公式得 , 所以
题型三 与椭圆有关的轨迹问题
[例3]　(1)已知P是椭圆＝1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为____________．
设P(xP，yP)，Q(x，y)，
又点P在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，
即x2＋ ＝1.
x2＋ ＝1
[例3]　(2)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．
由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；
圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
动圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
①定义法
用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
②相关点法
有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　　　　　　
解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法
方法总结
跟踪训练
4. 求过点P(3,0)且与圆x2＋6x＋y2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．
消去r得R－|PC|＝|CC1| |PC|＋|CC1|＝R，即|PC|＋|CC1|＝10.
又P(3,0)，C1(－3,0)，且|PC1|＝6<10.
可见C点是以P，C1为两焦点的椭圆，且c＝3,2a＝10，
所以a＝5，从而b＝4，
圆方程配方整理得(x＋3)2＋y2＝102，圆心为C1(－3，0)，半径为R＝10.
设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有，
故所求的动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
随堂检测
1．设F1，F2是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝ 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
设直线x＝与x轴交于点M，则∠PF2M＝60°，
在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝ －c，
故cos 60°＝ ＝ ＝ ，解得＝ ，
故离心率e＝ .
C
2．椭圆C： ＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
由题意知点P在第一象限，设点P横坐标为x，则纵坐标为y＝ ×，
由PA2的斜率得：1≤× ≤2，即≤≤ ，
PA1的斜率为× ，所以PA1的斜率取值范围为.
B
3．(福建)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　)
A．5 B. ＋
C．7＋ D．6
将两个动点间的距离转化为一个动点和一个定点间的距离．
设Q(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0,6)，故|QC|＝ 　①，
因为＋n2＝1　②，联立①②，|QC|＝ ，
因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，
所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.
D
4．(辽宁)已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝ ，则C的离心率e＝________.
由余弦定理得AF2＝AB2＋BF2－2AB·BF·cos∠ABF，
即36＝100＋BF2－2×10·BF· ，化简得BF2－16BF＋64＝0，解得BF＝8.
∴△ABF为直角三角形．c＝ AB＝5，
设右焦点为F2，连接AF2，BF2，由对称性可知四边形AFBF2为矩形．
∴AF2＝8，由椭圆定义2a＝14，∴a＝7，∴离心率e＝ .
本课小结
(1)前提
椭圆定义是解决椭圆问题的常用工具，定义中“平面内”这一条件不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形椭球体的表面．
(2)限制条件
椭圆中到两定点的距离之和记为2a，只有2a大于两定点间的距离|F1F2|时，动点的轨迹才是椭圆，在判断一曲线是否为椭圆时，一定不要忽略此限制条件．
1．对椭圆定义的两点说明
本课小结
(1)标准方程的几何特征：椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴或y轴上，对称轴是坐标轴．
(2)标准方程的代数特征：方程右边为1，左边是关于与的平方和，并且分母为不相等的正值，当椭圆的焦点在x轴上时，含x项的分母大；当椭圆的焦点在y轴上时，含y项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a>b>0这个条件．
(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆．a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2(如图所示)．
2．对椭圆标准方程的三点认识
通过本节课，你学会了什么？