人教版（2019）数学选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件(共34张PPT)
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）数学选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件(共34张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-10 21:07:26 | ||
图片预览
文档简介
(共34张PPT)
高二选择性必修一
1.1.1空间向量及其线性运算
本节目标
1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握共线向量定理和共面向量定理，并能熟练应用.
课前预习
1. 空间向量的概念及几类特殊向量
名称 定义
空间向量 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的__________
单位向量 长度或模为______的向量
零向量 _________的向量
相等向量 方向______且模______的向量
相反向量 ______相反且______相等的向量
大小
方向
长度或模
1
长度为0
相同
相等
方向
模
2. 空间向量的表示
空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的_______表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为__________.
长度
|a|或||
3. 空间向量的加、减法运算、数乘运算
(1) a＋b= ＋ ＝________；
(2) a－b＝ －＝________.
交换律 a＋b＝_________；结合律(a＋b)＋c＝_____________.
分配律λ(a＋b)＝___________，(λ＋μ)a＝____________.
大小：|λa|=_____.
方向：当λ>0时，λa的方向与a的方向_______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______；
当λ=0时，λa=0
(3)数乘λa(a≠0)
|λ||a|
相同
相反
运算律
b＋a
a＋(b＋c)
λa＋λb
λa＋μa
4. 共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_______________，则这些向量叫做____________或平行向量.
(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.
互相平行或重合
共线向量
a＝λb
5. 方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的_________成为直线l的方向向量.也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定.
非零向量
6. 共面向量
定义：平行于________________的向量叫做共面向量.
同一个平面
(1) ＝x ＋y ；
(2)对空间任一点O， ＝ ＋x＋y；
(3)对空间任一点O， ＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4) ∥(或∥，或∥).
①证明空间三个向量共面的常用方法
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.
②对空间四点P, M, A, B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
小试牛刀
1.判断正错
(1)零向量没有方向．( )
(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )
(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )
(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )
(5)任何两个向量均不可以比较大小( )
×
×
×
×
√
2. 在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
A
B
C
D
C1
D1
A1
B1
3.已知空间四边形ABCD中， ＝a， ＝b， ＝c，则等于( )
A. a＋b－c B.－a－b＋c
C.－a＋b＋c D.－a＋b－c
C
＝ ＋ ＋
＝ － ＋
＝ －＋
典例剖析
题型
1
空间向量的概念
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．
注意
例1 给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD- A1B1C1D1中， ＝ ；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＋ ＝.
其中正确命题的序号是________.
典例剖析
题型
1
空间向量的概念
①②
√
√
×
a，b的方向不能确定
须是平行四边形
×
1. 下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||＞||，则＞
D．相等向量其方向必相同
跟踪训练
向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合
|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定
向量作为矢量不能比较大小
D
×
×
×
√
A
B
C
D
C'
D'
A'
B'
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_____________；与向量相反的向量有_________________.(要求写出所有适合条件的向量)
,
,
, , ,
题型
2
空间向量的线性运算
注意：
1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；
2.要注意数形结合思想的运用.
题型
2
空间向量的线性运算
例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2 .
证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋ ,
＝＋ ,
＝＋
∴ ＋＋＝(＋) ＋(＋ ) ＋(＋ )
＝2(＋＋ )
又∵ ＝ ,
＝
∴ ＋＋ ＝ ＋＋
＝ ＋
＝
∴ ＋＋＝2
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1) ＝x ＋y ＋z ；
(2) ＝x ＋y ＋z .
跟踪训练
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1) ＝x ＋y ＋z ；
所以x＝1，y＝－1，z＝1.
＝＋
＝ ＋＋
＝－＋ ＋
又 ＝x ＋y ＋z
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(2) ＝x ＋y ＋z .
所以x＝ ，y＝ ，z＝1.
＝＋
＝＋
＝＋(＋ )
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
又 ＝x ＋y ＋z ，
题型
3
向量的共线及判定
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2 ，F在对角线A1C上，且＝ ，求证：E，F，B三点共线.
注意
要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：
(1) ＝m；(2) ＝ ＋λ ；
(3) ＝n ＋(1－n) .
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2 ，F在对角线A1C上，且＝ ，求证：E，F，B三点共线.
∴ ＝ ，所以E，F，B三点共线．
证明：
设＝a，＝b， ＝c.
∵ ＝2 ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ ＝ b，
＝ (－ )＝ (＋ － )＝ a＋ b－ c.
∴ ＝ － ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－c)．
又＝ ＋ ＋ ＝－ b－c＋a＝a－ b－c，
跟踪训练
∴ ＝ ＋＝ (＋)，即与＋共线．
解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别为AB、CD的中点．
∴ ＝ ， ＝ .
又∵E、F、G三点共面，
在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋ 是否共线．
题型
4
向量共面
例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.
所以＝ ＋ ，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.
证明：分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
连接MN，NQ，QR，RM，
M
N
Q
R
因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，
且＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
所以＝ ＋ ＝(－ )＋(－ )＝ (－ )＋ (－ ) ＝ (＋ ).
又＝ － ＝ － ＝ .
例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.
跟踪训练
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，， 共面.
因为M在BD上，且BM＝ BD，
所以＝ ＝ ＋ .
同理＝ ＋ .
所以＝ ＋ ＋ ＝(＋ )＋ ＋(＋ )＝ ＋ ＝ ＋ .
如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ BD，AN＝ AE.求证：向量，， 共面.
随堂检测
1.下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；
④ ＝的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
×
模相等且方向相同即为相等向量.
×
向量不能比较大小.
√
×
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反
D
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝ ，若＝x ＋y(＋ )，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
＝＋
＝＋
＝＋(＋ )
D
√
A
B
C
D
C1
D1
A1
B1
E
4．如图所示，空间四边形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A． a－ b＋c B．－a＋ b＋ c
C． a＋ b－ c D．－ a＋b－c
＝ －
＝ ( ＋ )－
＝ －a＋ b＋ c
B
5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量．
④试写出向量的所有相反向量．
8个
＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋ ()
＝ ＋ ()
＝ ＋ [()]
＝ ＋ ＋
＝ a ＋ b ＋ c
6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a， ＝b， ＝c，试用a，b，c表示向量.
∴四边形EFGH是梯形.
7.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝， ＝.求证：四边形EFGH是梯形.
解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴ ＝， ＝ ，
则＝ －＝ －＝ ＝ (－ )＝ (－) ＝ (－)＝ ，
∴ ∥且||＝ ||≠||.
又F不在直线EH上，
∴向量，，共面.
8.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝ ＋ ＋ .
(1)判断，，三个向量是否共面；
由已知，得＋ ＋ ＝3 ，
∴ － ＝(－)＋(－)，
∴ ＝ ＋ ＝－－.
∴点M在平面ABC内.
8.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝ ＋ ＋ .
(2)判断点M是否在平面ABC内.
由(1)知，向量，，共面，
表示三个向量的有向线段又过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，
高二选择性必修一
1.1.1空间向量及其线性运算
本节目标
1.利用类比的方法理解空间向量的相关概念.
2.掌握空间向量的线性运算.
3.掌握共线向量定理和共面向量定理，并能熟练应用.
课前预习
1. 空间向量的概念及几类特殊向量
名称 定义
空间向量 在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的__________
单位向量 长度或模为______的向量
零向量 _________的向量
相等向量 方向______且模______的向量
相反向量 ______相反且______相等的向量
大小
方向
长度或模
1
长度为0
相同
相等
方向
模
2. 空间向量的表示
空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的_______表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为__________.
长度
|a|或||
3. 空间向量的加、减法运算、数乘运算
(1) a＋b= ＋ ＝________；
(2) a－b＝ －＝________.
交换律 a＋b＝_________；结合律(a＋b)＋c＝_____________.
分配律λ(a＋b)＝___________，(λ＋μ)a＝____________.
大小：|λa|=_____.
方向：当λ>0时，λa的方向与a的方向_______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______；
当λ=0时，λa=0
(3)数乘λa(a≠0)
|λ||a|
相同
相反
运算律
b＋a
a＋(b＋c)
λa＋λb
λa＋μa
4. 共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_______________，则这些向量叫做____________或平行向量.
(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.
互相平行或重合
共线向量
a＝λb
5. 方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的_________成为直线l的方向向量.也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定.
非零向量
6. 共面向量
定义：平行于________________的向量叫做共面向量.
同一个平面
(1) ＝x ＋y ；
(2)对空间任一点O， ＝ ＋x＋y；
(3)对空间任一点O， ＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4) ∥(或∥，或∥).
①证明空间三个向量共面的常用方法
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.
②对空间四点P, M, A, B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
小试牛刀
1.判断正错
(1)零向量没有方向．( )
(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )
(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )
(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )
(5)任何两个向量均不可以比较大小( )
×
×
×
×
√
2. 在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
A
B
C
D
C1
D1
A1
B1
3.已知空间四边形ABCD中， ＝a， ＝b， ＝c，则等于( )
A. a＋b－c B.－a－b＋c
C.－a＋b＋c D.－a＋b－c
C
＝ ＋ ＋
＝ － ＋
＝ －＋
典例剖析
题型
1
空间向量的概念
在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．
注意
例1 给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
②在正方体ABCD- A1B1C1D1中， ＝ ；
③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；
④在四边形ABCD中，必有＋ ＝.
其中正确命题的序号是________.
典例剖析
题型
1
空间向量的概念
①②
√
√
×
a，b的方向不能确定
须是平行四边形
×
1. 下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足||＞||，则＞
D．相等向量其方向必相同
跟踪训练
向量a，b平行，则a，b所在的直线平行或重合
|a|＝|b|只能说明a，b的长度相等而方向不确定
向量作为矢量不能比较大小
D
×
×
×
√
A
B
C
D
C'
D'
A'
B'
2.如图所示，在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有_____________；与向量相反的向量有_________________.(要求写出所有适合条件的向量)
,
,
, , ,
题型
2
空间向量的线性运算
注意：
1.熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律；
2.要注意数形结合思想的运用.
题型
2
空间向量的线性运算
例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2 .
证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋ ,
＝＋ ,
＝＋
∴ ＋＋＝(＋) ＋(＋ ) ＋(＋ )
＝2(＋＋ )
又∵ ＝ ,
＝
∴ ＋＋ ＝ ＋＋
＝ ＋
＝
∴ ＋＋＝2
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1) ＝x ＋y ＋z ；
(2) ＝x ＋y ＋z .
跟踪训练
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1) ＝x ＋y ＋z ；
所以x＝1，y＝－1，z＝1.
＝＋
＝ ＋＋
＝－＋ ＋
又 ＝x ＋y ＋z
如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(2) ＝x ＋y ＋z .
所以x＝ ，y＝ ，z＝1.
＝＋
＝＋
＝＋(＋ )
＝ ＋ ＋
＝ ＋ ＋
又 ＝x ＋y ＋z ，
题型
3
向量的共线及判定
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2 ，F在对角线A1C上，且＝ ，求证：E，F，B三点共线.
注意
要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：
(1) ＝m；(2) ＝ ＋λ ；
(3) ＝n ＋(1－n) .
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2 ，F在对角线A1C上，且＝ ，求证：E，F，B三点共线.
∴ ＝ ，所以E，F，B三点共线．
证明：
设＝a，＝b， ＝c.
∵ ＝2 ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ .
∴ ＝ ＝ b，
＝ (－ )＝ (＋ － )＝ a＋ b－ c.
∴ ＝ － ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－c)．
又＝ ＋ ＋ ＝－ b－c＋a＝a－ b－c，
跟踪训练
∴ ＝ ＋＝ (＋)，即与＋共线．
解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别为AB、CD的中点．
∴ ＝ ， ＝ .
又∵E、F、G三点共面，
在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋ 是否共线．
题型
4
向量共面
例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.
所以＝ ＋ ，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面.
证明：分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，
连接MN，NQ，QR，RM，
M
N
Q
R
因为点E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在边的中点，
且＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
所以＝ ＋ ＝(－ )＋(－ )＝ (－ )＋ (－ ) ＝ (＋ ).
又＝ － ＝ － ＝ .
例4 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.
跟踪训练
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，， 共面.
因为M在BD上，且BM＝ BD，
所以＝ ＝ ＋ .
同理＝ ＋ .
所以＝ ＋ ＋ ＝(＋ )＋ ＋(＋ )＝ ＋ ＝ ＋ .
如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝ BD，AN＝ AE.求证：向量，， 共面.
随堂检测
1.下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
③若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；
④ ＝的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
×
模相等且方向相同即为相等向量.
×
向量不能比较大小.
√
×
2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )
A．a＝b B．a＋b为实数0
C．a与b方向相同 D．|a|＝3
向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反
D
3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝ ，若＝x ＋y(＋ )，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
＝＋
＝＋
＝＋(＋ )
D
√
A
B
C
D
C1
D1
A1
B1
E
4．如图所示，空间四边形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )
A． a－ b＋c B．－a＋ b＋ c
C． a＋ b－ c D．－ a＋b－c
＝ －
＝ ( ＋ )－
＝ －a＋ b＋ c
B
5.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？
②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量．
④试写出向量的所有相反向量．
8个
＝ ＋
＝ ＋
＝ ＋ ()
＝ ＋ ()
＝ ＋ [()]
＝ ＋ ＋
＝ a ＋ b ＋ c
6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a， ＝b， ＝c，试用a，b，c表示向量.
∴四边形EFGH是梯形.
7.如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝， ＝.求证：四边形EFGH是梯形.
解：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴ ＝， ＝ ，
则＝ －＝ －＝ ＝ (－ )＝ (－) ＝ (－)＝ ，
∴ ∥且||＝ ||≠||.
又F不在直线EH上，
∴向量，，共面.
8.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝ ＋ ＋ .
(1)判断，，三个向量是否共面；
由已知，得＋ ＋ ＝3 ，
∴ － ＝(－)＋(－)，
∴ ＝ ＋ ＝－－.
∴点M在平面ABC内.
8.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝ ＋ ＋ .
(2)判断点M是否在平面ABC内.
由(1)知，向量，，共面，
表示三个向量的有向线段又过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，