人教版（2019）数学选择性必修一 3_2_1双曲线及其标准方程 课件（共41张PPT）

双曲线及其标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2．掌握双曲线的标准方程．
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
本节目标
课前预习
预习课本P118～121，思考并完成以下问题
1．平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？
2．什么是双曲线的标准方程？
课前小测
(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a>b. (　　)
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线. (　　)
(2)在双曲线标准方程????2????2?????2????2?＝1中，a>0，b>0且a≠b. (　　)
?
×
×
×
2．已知双曲线????216?????29?＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　)
A．(－7?, 0)，(7, 0) B．(－5, 0)，(5, 0)
C．(0,－5)，(0, 5) D．(0,－7)，(0, 7)
?
B
3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是(　　)
A. ????216?????29?＝1(x≤－4) B． ????29?－ ????216?＝1(x≤－3)
C. ????216?－ ????29?＝1(x≥4) D. ????29?－ ????216?＝1(x≥3)
?
D
4．双曲线的两焦点坐标是F1(0, 3)，F2(0,－3)，b＝2，则双曲线的标准方程是______________．
c = 3
F1(0, 3)，F2(0,－3)
b＝2
a2＝c2-b2=5
????25?－ ????24?＝1
?
新知探究
认识双曲线
x
y
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的____________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
这________叫做双曲线的焦点，________________叫做双曲线的焦距．
差的绝对值
两个定点
两焦点间的距离
F1
F2
P
当2a<|F1F2|时，轨迹是双曲线；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是分别以F1，F2为端点的两条射线；
当2a>|F1F2|时，轨迹不存在．
知识点睛
平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为非零常数，即||MF1|－|MF2||＝2a，关键词“平面内”．
2．双曲线的标准方程
a2＋b2
F1(－c, 0)，F2(c, 0)
F1(0,－c)，F2(0, c)
(1)标准方程的代数特征
方程右边是1，左边是关于x，y的平方差，并且分母大小关系不确定．
(2)a，b，c三个量的关系
标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中，a，b大小不确定．
知识点睛
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　双曲线标准方程的认识
[例1] 已知方程????2?????5?????2?????2?＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5 B．k>5或－2 C．k>2或k<－2 D．－2?
[例1] 已知方程????2?????5?????2?????2?＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　)
A．k>5 B．k>5或－2 C．k>2或k<－2 D．－2?
解得k>5或－2 ∵方程对应的图形是双曲线，
∴(k－5)(|k|－2)>0.
即
k－5>0
|k|－2>0
或
k－5<0
|k|－2<0
B
方法总结
将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为????2????＋????2?????＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线．
?
双曲线方程的辨识方法
若 则方程表示焦点在x轴上的双曲线；
m>0
n<0
若 则方程表示焦点在y轴上的双曲线．
m<0
n >0
跟踪训练
1．已知双曲线????2?????3+????22??????＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于(　　)
A. 32 B. 5 C. 7 D. 12
?
焦距为4
c＝2
c2＝2－a＋3－a＝4
a＝ 12
?
焦点在y轴上
D
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是(　　)
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的椭圆
mx2－my2＝n
????2?????????????2????????=1
?
mn<0
???????? < 0
?
方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线
C
题型二　求双曲线的标准方程
[例2]　 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
(2)焦点为(0,－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
(3)以椭圆????28+????25?＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3,10)．
?
[例2]　 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1) a＝3，c＝4，焦点在x轴上；
由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以所求双曲线的标准方程为????29－????27?＝1.
?
[例2]　 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(2)焦点为(0,－6)，(0,6)，经过点A(－5,6)；
由已知得c＝6，且焦点在y轴上．
因为点A(－5,6)在双曲线上，所以
2a＝?5?02+6+62??5?02+6?62＝|13－5|＝8，
则a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20.
所以所求双曲线的标准方程是????216－????220＝1.
?
[例2]　 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(3)以椭圆????28+????25?＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3,10)．
?
由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝22.
设双曲线的标准方程为 ????2????2－ ????2????2?＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8， 9????2－ 10????2?＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为????23－ ????25?＝1.
?
(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．
求双曲线标准方程的步骤
(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．
总结归纳
(1)定义法
根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．
[注意]　若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn<0.　　
双曲线标准方程的两种求法
(2)待定系数法
先设出双曲线的标准方程????2????2－ ????2????2?＝1或????2????2－ ????2????2?＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．
?
方法总结
跟踪训练
3. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线????216－ ????24?＝1有公共焦点，且过点(32，2)；
(2)双曲线过两点P(3, 154?)，Q(－163, 5).
?
3. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线????216－ ????24?＝1有公共焦点，且过点(32，2)；
?
设双曲线的标准方程为????216?????－ ????24+?????＝1(－4 将点(32?，2)代入，解得k＝4或k＝－14(舍去)，
∴双曲线的标准方程为????212－ ????28?＝1.
?
3. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(2)双曲线过两点P(3, 154?)，Q(－163, 5).
?
设所求双曲线方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
∵点(3, 154?), (－163, 5)在双曲线上，
?
∴双曲线的标准方程为????29－ ????216＝1.
?
解得
∴
9A＋22516?B＝1
?
2569?A＋25B＝1
?
A＝－116
?
B＝19
?
题型三　双曲线定义的应用
[例3] 已知F1，F2分别是双曲线????29－????216?＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.试求△F1PF2的面积．
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[例3] 已知F1，F2分别是双曲线????29－????216?＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32. 试求△F1PF2的面积．
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因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，
两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，
所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝ ????????12+????????22?????1????222????????1?????????2?＝ 100?1002????????1?????????2?＝0，
所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝ 12?|PF1|·|PF2|＝ 12?×32＝16.
?
多维探究
变式1 已知F1，F2分别是双曲线????29－????216?＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且其上一点P到焦点F1的距离为10. 求点P到F2的距离．
?
由双曲线的标准方程????29－????216?＝1，
得a＝3，b＝4，c＝5.
由双曲线定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，
∴|10－|PF2||＝6，
解得|PF2|＝4或|PF2|＝16.
?
变式2 已知F1，F2分别是双曲线????29－????216?＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|:|PF2|＝2:5. 试求△F1PF2的面积．
?
由|PF1|∶|PF2|＝2∶5，|PF2|－|PF1|＝6，
可知|PF2|＝10，|PF1|＝4，
∴S△F1PF2＝ 12?×4×46?＝86.
?
在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用；
技法点拨
与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等．
另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．
随堂检测
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　)
A. 22,0? B. 52,0
C. 62,0 D. 3,0
?
C
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝ 60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1 |·|PF2|·cos 60°
＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
即(22)2＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4.
?
B
3．已知双曲线x2－????22＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上且????????1?????????2?＝0，则点M到x轴的距离为(　　)
A. 43 B. 53
C. 233 D. 3
?
由条件知c＝3?，∴|F1F2|＝23?，
∵ ????????1?????????2?＝0，∴|MO|＝ 12?|F1F2|＝3?，
设M(x0，y0)，
?
则点M到x轴的距离为233.
?
则
????02+????02=3
?
????02?－????022＝1
?
解得
????02=53
?
????02=43
?
C
4．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k的值是______．
由已知，得????21?????????28????＝1.
?
∵焦点为(0,3)，∴k<0. ∴ ????2?8?????????2?1?????＝1.
∵a2＝－8?????，b2＝－1?????，c＝3，∴－8????＋(－ 1?????)＝9，
∴k＝－1.
?
－1
(1)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F1，F2表示双曲线的左、右焦点，且点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则点P在右支上；若点P满足|PF2|－|PF1|＝2a，则点P在左支上．
1．对双曲线定义的两点说明
本课小结
(2)在双曲线定义中，规定2a<|F1F1|，若把|F1F2|用2c表示，则当2a<2c时，P的轨迹为双曲线；当2a＝2c时，P的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；当2a>2c时，动点P的轨迹不存在．
本课小结
(1)只有当双曲线的两焦点F1，F2在坐标轴上，并且线段F1F2的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件、这里b2＝c2－a2与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线中a，b大小则不确定．
(3)焦点F1，F2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”．若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，则焦点在y轴上．
(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即Ax2＋By2＝1(AB<0)．
2．对双曲线标准方程的四点认识
通过本节课，你学会了什么？