人教版（2019）数学选择性必修一 1.1.2空间向量的数量积运算导学案(有答案）

1.1.2　空间向量的数量积运算
学习目标
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律；
2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题。
学习过程
一、课前预习
预习课本P6～8，思考并完成以下问题
1．空间向量的数量积的定义是什么？
2．空间向量的数量积满足哪些运算律？
二、预习检测
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于非零向量a，b，〈a，b〉与〈a，－b〉相等(　　)
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c(　　)
(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2(　　)
2．已知正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b， ＝c，则〈， 〉等于(　　)
A．30°　　　　　　　　 B．60°
C．90° D．120°
3.如图，已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC＝________.
4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.
三、新知探究
1．空间向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
(2)向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，那么称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
[点睛]　空间向量的夹角与向量位置关系
(1)〈a，b〉＝0时，向量a，b方向相同．
(2)〈a，b〉＝π时，向量a，b方向相反．
(3)〈a，b〉＝时，向量a⊥b.
2．空间向量的数量积
(1)定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)运算律：
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量数量积的性质
序号 性质
① a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)
② 若a，b为非零向量，则a⊥b a·b＝0
③ a·a＝|a|2或|a|＝＝
④ 若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝
⑤ |a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)
[点睛]　(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；
(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．
四、典例剖析
题型一　空间向量的数量积运算
例1　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：
(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.
反思与感悟　
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
跟踪训练
1. 已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
题型二　利用数量积求夹角
例2　如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
反思感悟　
利用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：
(1)根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；
(2)将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；
(3)利用向量的数量积求角的大小；
(4)证明两向量垂直可转化为数量积为零．
跟踪训练
2. 如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN⊥AB，MN⊥CD.
题型三　利用数量积求距离
例3　正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长．
反思感悟　
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|＝求解即可．
跟踪训练
3. 如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．
五、达标检测
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a－3b|等于(　　)
A. B.
C. D．4
3．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　)
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
4．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．5
5．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|等于(　　)
A．2 B. C．1 D.
六、本课小结
1.求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；
2.利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；
3.证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模．
参考答案
预习检测
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．答案：D
3. 答案：12
4．答案：
典例剖析
例1　解析：(1)·＝·
＝·cos〈，〉
＝×1×1×cos 60°＝，
所以·＝；
(2)·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 0°＝，
所以·＝；
(3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1×cos 120°＝－，
所以·＝－；
(4)·＝(＋)·(＋)
＝[·(－)＋·(－)＋·＋·]
＝[－·－·＋(－)·＋·]
＝(－－＋－＋)＝－.
跟踪训练
1. 答案：－13
解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
例2　解：因为＝－，
所以·＝·－·
＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16＋24.
所以cos〈，〉＝＝＝.
即OA与BC所成角的余弦值为.
跟踪训练
2. 证明：·＝(＋＋)·＝(＋＋)·
＝(＋＋－)·
＝a2＋a2cos 120°＋a2cos 60°－a2cos 60°＝0，
所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD.
例3　解：如图所示，设＝a，＝b，＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.
因为＝＋＋
＝－＋＋
＝－a＋b＋c，
所以EF2＝||2＝2＝a2＋b2＋c2
＋2
＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°
＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝.
跟踪训练
3. 解：∵CA⊥AB，BD⊥AB，∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)(＋＋)
＝||2＋||2＋||2＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×(－)＝68，
∴||＝2，故CD的长为2.
达标检测
1．答案：A
解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b| cos〈a，b〉＝1 〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．
2．答案：A
解析：∵|a－3b|2＝(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2
＝1－6×cos 60°＋9＝7.∴|a－3b|＝.
3．答案：B
解析：对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，a·b＝a·c可以移项整理得a·(b－c)＝0.
4．答案：A
解析：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左、右两边分别相减，得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
5．答案：B
解析：由题意知即
将①×2－②得，2a2－b2＝0，
∴b2＝|b|2＝2a2＝2|a|2＝2，
故|b|＝.