人教版（2019）数学选择性必修一 1.2空间向量基本定理 导学案（含答案）

1.2空间向量基本定理
【学习目标】
1．理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题．
2．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P11～14，思考并完成以下问题
(1) 空间向量基本定理的内容是什么？
(2) 在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？
二、课前小测
1. 关于空间向量的四个命题中正确的是（ ）
A．若，则、、三点共线
B．若，则、、、四点共面
C．为直角三角形的充要条件是
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
2. 在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有对，则（ ）
A． B． C． D．
3. 已知正方体中，，若，则
， ．
4. 空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则 ．（用向量来表示．）．
三、新知探究
1．空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2. 向量的正交分解
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi、yj、zk.，使a＝xi＋yj＋zk. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
四、题型突破
题型一 空间向量基本定理的理解
【例1】已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？
【方法总结】
判断基底的方法
判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．
【跟踪训练】
1、设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
题型二 用基底表示向量
【例2】　如图，四棱锥P OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.
【反思感悟】
用基底表示向量的策略
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．　　　　　　
【跟踪训练】
2. 如图所示，正方体OABC O′A′B′C′，且＝a，＝b， ＝c.
(1)用a，b，c表示向量，；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
题型三 空间向量基本定理的应用
【例3】如图，已知平行六面体的底面是边长为的菱形，且，
⑴求证：；
⑵当的值为多少时，能使平面？
【反思感悟】
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来.进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便.
【跟踪训练】
3. 已知三棱锥，，，，，，、分别是棱、的中点，求：直线与所成角的余弦值．
五、达标检测
1．已知O，A，B，C为空间四个点，又
A.O，A，B，C四点共线
B.O，A，B，C四点共面
C.O，A，B，C四点中任意三点不共线
D.O，A，B，C四点不共面
2．如图所示，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：
⑴；⑵；⑶；⑷．
3. 对空间中一点，满足条件，试判断：点与是否一定共面？
4．已知空间四边形中，，且，、分别是、的中点，是的中点，求证：．
六、本课小结
1.空间向量基本定理的理解
2.用基底表示向量的策略
3.空间向量基本定理的应用
参考答案
课前小测
1. 答案：D.
解析：，故A错误； ，当与不共面时，、、、就不共面，故B错误；为直角三角形也有可能对应等，故C不正确．
2. 答案：B.
解析：①③是互为相反向量．
3. 答案：，
4. 答案：．
解析：
．
题型突破
【例1】解析：假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，
∴e1，e2，e3不共面，∴此方程组无解，
即不存在实数x，y，使＝x＋y成立．
∴，，不共面．
故{，，}能作为空间的一个基底．
【跟踪训练】
1. 答案：3
解析：如图，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．
【例2】解析：连接BO，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c.
＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
【跟踪训练】
2. 解：(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a.
(2)法一：连接OG，OH(图略)，
则＝＋＝－＋
＝－(＋)＋(＋)
＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)
＝(c－b)．
法二：连接O′C，则＝CO′―→＝(－)
＝(c－b).
【例3】
解析：⑴∵
．
得出结论：∴．
⑵设，即时，平面，则，．
即，，∵，
∴，又，
∴，（舍）
而当时，显然有，且，
即当时，平面．
【跟踪训练】
3. 解析：设，，，则，，
因此，
，
，因此，
即与所成角的余弦值为．
达标检测
1．答案：D
2．解析：连接．
⑴；
⑵；
⑶
；
⑷
3．解析：由题意：，
∴，
∴，故向量共面，所以，点与共面．
4．解析：如图，连接，设，，，，
则，
又，，
所以，
所以．