人教版（2019）数学选择性必修一 1.3空间向量及其运算的坐标表示导学案（有答案）

1.3空间向量及其运算的坐标表示
【学习目标】
1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示.
2.掌握空间向量运算的坐标表示.
3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.
4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P16～21，思考并完成以下问题
(1) 空间直角坐标系该如何建立的？空间中任意一点M如何用坐标表示呢？
(2) 空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||如何表示？
二、课前小测
1．若a=3i+2j-k，且{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为　　　　
2．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝(　　)
A．(2，－4，2)　　　　　　　 B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
3．与向量m＝(0，1，－2)共线的向量是(　　)
A．(2，0，－4) B．(3，6，－12)
C．(1，1，－2) D.
4．已知a＝(2，1，3)，b＝(－4，5，x)，若a⊥b，则x＝________________.
三、新知探究
(一)空间直角坐标系与坐标表示
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面.
2.点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使=xi+yj+zk.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
3.向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作 =a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a=(x，y，z).
说明：1.画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.三个坐标平面把空间分成八个部分.
2.在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.本书建立的都是右手直角坐标系.
(二)空间向量的加减和数乘运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
(3)λa＝(λa1，λa2，λa3) (λ∈R)；
(4)若b≠0，则a∥b a＝λb (λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.
(三)空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
(2)|a|＝＝；
(3)cos〈a，b〉＝＝；
(4)a⊥b a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
(四)空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)．
(1)＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝||＝.
对空间向量坐标运算的两点说明
(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a＝(x，y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运算的结果是一个实数．
四、题型突破
题型一 空间向量的坐标表示
【例1】在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB=，AO=4，BO=2，AA1=4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求的坐标.
思路分析：先在空间几何体中找到两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，再根据空间向量基本定理，将用基底表示，即得坐标.
【反思感悟】
用坐标表示空间向量的步骤
　　　　
【跟踪训练】
1. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以{}为基底，则向量的坐标为　　　　　，向量的坐标为　　　　　，向量的坐标为　　　　　.
题型二 空间向量的坐标运算
【例2】　已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)．求点P的坐标，使：
(1)＝(－)； (2)＝(－)．
【反思感悟】
空间向量坐标运算的规律及注意点
(1)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．
(2)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．
【跟踪训练】
2. 已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2)，设p＝，q＝.
求：(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)．
题型三 空间向量的平行与垂直
【例3】　正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值．
【多维探究】
1．[变条件]若本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ，其他条件不变，结果如何？
2．[变条件，变设问]本例中若G是A1D的中点，点H在平面xOy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置．
【反思感悟】
解决空间向量垂直、平行问题的有关思路
(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．
(2)在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解．
(3)选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
题型四 利用坐标运算解决夹角、距离问题
【例4】　如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
【反思感悟】
1．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤
(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；
(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；
(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．
2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)求出线段端点的坐标；
(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．　　　　　　
【跟踪训练】
4. 在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点．
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成角的余弦值；
(3)求FH的长．
五、达标检测
1．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底{}下的坐标为(2，1，-3).若分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为(　　)
A.(2，1，-3) B.(-1，2，-3)
C.(1，-8，9) D.(-1，8，-9)
2.已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，-2)，若(ka+b)·(a+kb)=2，则k的值等于(　　)
A.1 B. C. D.
3.已知点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.
4.已知向量a=(2，-1，-2)，b=(1，1，-4).
(1)计算2a-3b和|2a-3b|.
(2)求.
六、本课小结
1.向量的坐标恰好是终点P的坐标，这就实现了空间基底到空间坐标系的转换.
2空间向量的坐标运算注意以下几点：
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.
(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键.
(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2=a2±2a·b+b2；(a+b)·(a-b)=a2-b2.
3.利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a=λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
4.利用坐标运算解决空间向量夹角与长度的计算问题，关键是建立恰当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标，然后利用夹角与模的计算公式进行求解.
参考答案
课前小测
1．答案：(3，2，-1)
2．答案：B
3．答案：D
4．答案：1
题型突破
【例1】
解：由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，
则=4i，=2j，=4k，
=-=-()
=-
=-=-2i-j-4k，
故的坐标为(-2，-1，-4).
-()
==-4i+2j-4k，
故的坐标为(-4，2，-4).
即=(-2，-1，-4)，=(-4，2，-4).
【跟踪训练】
1. 　(1，1，1)
解析：因为，所以向量的坐标为.
因为，
所以向量的坐标为.
因为，所以向量的坐标为(1，1，1).
【例2】
[解]　＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)，
∴－＝(6，3，－4)．
(1)＝(6，3，－4)＝，
则点P的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，y，z)，
则＝(x－2，y＋1，z－2)，
∵(－)＝＝，
∴x＝5，y＝，z＝0，则点P的坐标为.
【跟踪训练】
2. 解：因为A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，
所以p＝＝(2，1，3)，q＝＝(2，0，－6)．
(1)p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)．
(2)3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)．
(3)(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.
【例3】　[解]　 如图所示，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，
因为3 ＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，
所以3a－3＝－a，解得a＝，
所以点P的坐标为.
由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，
因为PQ⊥AE，所以·＝0，
所以·＝0，
即－－＝0，解得b＝，
所以点Q的坐标为，
因为＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ，
所以＝－1，故λ＝－4.
【多维探究】
1．解：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c,0)，
因为B1Q⊥EQ，所以·＝0，
所以(c－1，c－1，－1)·＝0，
即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0,4c2－4c＋1＝0，
解得c＝，所以点Q的坐标为，
所以点Q是线段BD的中点，
所以＝－2 ，故λ＝－2.
2．解：以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为，因为点H在平面xOy上，设点H的坐标为(m，n,0)，因为＝(m，n,0)－＝，＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1，1)，且GH∥，所以＝＝，解得m＝1，n＝.所以点H的坐标为，所以H为线段AB的中点．
【例4】　[解]　
如图，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系C xyz.
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，
∴||＝＝，
∴线段BN的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
∴＝(1，－1,2)， ＝(0,1,2)，
∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
故A1B与B1C所成角的余弦值为.
【跟踪训练】
4. 解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系D xyz，D为坐标原点，则有E，F，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G，H.
＝－＝，
＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1)．
∴·＝×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)∵＝－(0，1，1)＝.
∴||＝.又·＝×0＋×＋×(－1)＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)∵F，H，
∴＝，
∴||＝ ＝.
∴FH的长为.
达标检测
1．答案：D　
解析：a=2-3=2-3=8j-i-9k=(-1，8，-9).
2. 解析：由已知得|a|=，|b|=2，a·b=0，
所以由(ka+b)·(a+kb)=2可得k|a|2+k|b|2+(k2+1)a·b=2，即2k+8k=2，解得k=.
3. 解析：因为点A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，
所以|AB|2=(1+t)2+(2t-1)2+(t-t)2=5t2-2t+2，
由二次函数性质易知，当t=时，取得最小值为.
∴的最小值为，故选C.
4. 解：(1)2a-3b=2(2，-1，-2)-3(1，1，-4)=(4，-2，-4)-(3，3，-12)=(1，-5，8).
|2a-3b|==3.
(2)cos=，
又∈[0，π]，故=.