人教版（2019）数学选择性必修一 2.1.1倾斜角与斜率导学案（有答案）

2.1.1　倾斜角与斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念．
2.掌握求直线斜率的两种方法．
3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P51～54，思考并完成以下问题
1．直线的倾斜角的定义是什么？
2．直线的倾斜角的范围是什么？
3．直线的斜率的计算公式是怎样的？
二、课前小测
1．斜率不存在的直线一定是(　　)
A．过原点的直线　　　 B．垂直于x轴的直线
C．垂直于y轴的直线 D．垂直于过原点的直线
2．已知直线l的倾斜角α＝30°，则其斜率k的值为(　　)
A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D.
3．已知P1(3,5)，P2(－1，－3)，则直线P1P2的斜率k等于(　　)
A．2 B．1 C. D．不存在
三、新知探究
一、倾斜角的概念和范围
1．直线l的倾斜角的概念
一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．
2．倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. 因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°.
二、斜率的概念及斜率公式
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率．
2．记法：斜率常用k表示，即k＝tanα.
3．斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角 α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α＜180°
斜率 k＝0 k＞0 不存在 k＜0
4.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝.
四、题型突破
题型一　直线的倾斜角
[例1]　设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°　　　　　　　 B．α－135°
C．135°－α D．α＋45°或α－135°
方法总结
求直线倾斜角的方法及关注点
跟踪训练
1．已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________．
题型二　直线的斜率
[例2]　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
反思感悟
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 － －1 －
跟踪训练
2．(1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线l，绕原点沿逆时针方向旋转90°到达l′位置，求l′的斜率．
题型三　直线的倾斜角、斜率的应用
1. 三点共线问题
[例3]　如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值．
反思感悟
用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴．当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．
2. 数形结合法求倾斜角或斜率范围
[例4]　直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．
反思感悟
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决．
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
跟踪训练
3．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A．(－1,0] B．[0,1]
C．[1,2] D．[0,2]
五、达标检测
1．已知直线经过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为(　　)
A．3　　B．－2　　　　C．2　　　　D．不存在
2．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率为0，则边AC，AB所在直线的斜率之和为(　　)
A．－2 B．0 C. D．2
3．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.
六、本课小结
1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．
2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．
3．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：
(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在．
参考答案
课前小测
1．答案：B
2．答案：B
3．答案：A
题型突破
[例1]　解析：由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°<180°(0°≤α<180°)，即0°≤α<135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α<180°，所以当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．
答案：D
跟踪训练
1．解析：有两种情况：
(1)如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
(2)如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
答案：60°或120°
[例2]　解析：
(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，
即tan α＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，
即tan α＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
跟踪训练
2．解析：
(1)由题意知两点的横坐标不相等，则直线存在斜率，
根据直线的斜率公式得k＝＝4.
(2)直线l的斜率k＝1，所以直线l的倾斜角为45°，
所以直线l′的倾斜角为45°＋90°＝135°，
即l′的斜率k′＝tan 135°＝－1.
[例3]　解析：由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
由斜率公式，得kAB＝＝，kBC＝＝.
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.
∴＝，即m2－3m－12＝0，
解得m1＝，m2＝.
∴m的值是或.
[例4]　解析：如图所示．
∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，
∴45°≤α≤120°.
跟踪训练
3．解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
答案：D
达标检测
1．解析：kAB＝＝－2.
答案：B
2．解析：直线AC、AB的倾斜角分别是60°、120°或120°、60°，
则斜率之和为＋(－)＝0.
答案：B
3．解析：若平面内三点共线，则kAB＝kBC，
即＝，整理得a2－2a－1＝0，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)．
答案：1＋