人教版（2019）数学选择性必修一 2.1.2两条直线平行与垂直的判定导学案（有答案）

2.1.2　两条直线平行与垂直的判定
【学习目标】
1.能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．
2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.
【学习过程】
一、课前预习
预习课本P55～57，思考并完成以下问题
1．两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？
2．两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？
二、课前小测
1．下列说法正确的有(　　)
①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线垂直；
④若l1与l2的斜率都不存在，则l1∥l2.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线AB与直线CD(　　)
A．平行 B．垂直
C．重合 D．以上都不正确
3．已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
三、新知探究
一、两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下：
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
图示
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1、k2，则l1⊥l2 k1·k2＝－1 l1与l2两直线的斜率一个不存在另一个为0时，l1与l2的位置关系是l1⊥l2
四、题型突破
题型一　两直线平行的判定
[例1]　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行：
(1)l1经过点A(－1，－2)和B(2,1)，l2经过点M(3,4)和N(－1，－1)；
(2)l1经过点A(1,2)和B(2,4)，l2经过点M(3,6)和B(2,4)；
(3)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)和N(2,2)；
(4)l1经过点A(－3,2)和B(－3,1)，l2经过点M(5，－2)和N(5,5)．
方法技巧
判断两条直线是否平行的步骤
跟踪训练
1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
(4)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)．
题型二　两直线垂直的判定
[例2]　判断下列条件中的l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
方法技巧
两条直线垂直的判定条件
(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直；
(2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为0，那么这两条直线也垂直．
跟踪训练
2．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
3．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．
题型三　平行与垂直的综合应用
[例3]　已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)．
反思感悟
(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．
跟踪训练
4．已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定四边形ABCD的形状．
五、达标检测
1．若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为(　　)
A．－1 B.
C．2 D.
2．下列说法：
①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；
②如果两直线平行，则它们的斜率相等；
③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；
④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.
其中说法正确的是(　　)
A．①②③④ B．①③
C．②④ D．以上四种说法全错
3．以点A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的斜率为________．
六、本课小结
1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l1∥l2 k1＝k2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．
2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l1⊥l2 k1·k2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．
参考答案
课前小测
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：－
题型突破
[例1]　解析：　
(1) k1＝＝1，k2＝＝，
k1≠k2，∴l1与l2不平行．
(2) ∵k1＝＝2，k2＝＝2，
∴k1＝k2且同过点B，∴两直线重合．
(3) ∵k2＝＝1，∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合．
(4) ∵l1的斜率不存在，l2的斜率也不存在，且显然两直线不重合，
∴两直线平行．
跟踪训练
1．解析：
(1) 由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－，所以直线l1与直线l2平行或重合，又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2.
(2) 由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1，所以直线l1与直线l2平行或重合，
kFG＝＝1，故直线l1与直线l2重合．
(3) 由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，k1＝k2，
所以直线l1与直线l2平行或重合．
(4) 由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，
所以l1∥l2.
[例2]　解析：
(1) k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
(2) k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3) l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
跟踪训练
2．解析：由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
答案：－1
3．解析：设BC边上的高所在直线的斜率为k，
则有k·kBC＝－1.
∵kBC＝＝1，∴k＝－1.
∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.
[例3]　解析：设所求点D的坐标为(x，y)，
如图，
由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1，
即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角腰．
(1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3.
又kAD＝kBC，∴＝0，即y＝3.
此时AB与CD不平行．故所求点D的坐标为(3,3)．
(2)若AD是直角梯形的直角腰，
则AD⊥AB，AD⊥CD.∵kAD＝，kCD＝，
由于AD⊥AB，∴·3＝－1. ①
又AB∥CD，∴＝3. ②
解①②两式可得
此时AD与BC不平行．
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为(3,3)或.
跟踪训练
4．解析：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图，
由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，
kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD，
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，
故四边形ABCD为直角梯形．
达标检测
1．解析：由斜率公式得kAB＝＝，因为直线AB平行于直线PQ，斜率相等，所以直线PQ的斜率存在，kPQ＝，由＝，解得m＝，当m＝时，验证可得两直线不重合．
答案：B
2．解析：利用两条直线平行、垂直的条件，考虑到直线斜率不存在的情况知，①③正确，选B.
答案：B
3．解析：因为kAB＝＝，所以线段AB的垂直平分线的斜率为－3.
答案：－3