课件19张PPT。锐角三角函数 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1.65米10米? 你想知道小明怎样算出的吗？探索新知我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示. 观察图5-2中的Rt△OPM和Rt△OP1M1，它们之间有什么关系？Rt△OPM∽Rt△OP1M1P1M1
OP1OM
OPOM1
OP1PM
OMOM
PMP1M1
OM1=______,=______,=______,OM1
P1M1=______,想一想对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的 吗？这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cos A、tan A、cot A，即 sin A= cos A= tan A= cot A= 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.(1)sinA 不是一个角 (2)sinA不是 sin与A的乘积
(3) sinA 是一个比值 (4)sinA 没有单位三角函数符号最早的使用1949年至今，由于受前苏联教材的影响，我国数学书籍中“cot”改为“ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。小资料sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导
人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。Cosine（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔首先使用，最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。Secant(正割)及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·劳克首创，最早见于
他的《圆几何学》一书中。Cosecant（余割）一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书。1626年，阿尔贝特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin” ,“tan” ,“sec”.
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”，“csc”。便直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。例1 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5，AC=3,
求∠B的四个三角函数值。35试一试：α的对边α的邻边斜边sinB=cosB=tanB= cotB=解:由勾股定理得BC＝4cosB= ， sinB= ， cotB = ， tanB = ．sinA= ，cosA= ，tanA= ，cotA= ． 你掌握了吗？1.如图，已知在△ABC中，∠C= 90°BC=5，AC=12
求角A的四个三角函数. 证明：tanA.cotA=1由勾股定理得AB＝13在直角三角形中，两锐角A+B=90度，
则A 、 B的三角函数有如下关系：
sinA=cosB, cosA=sinB,
tanA=cotB, cotA=tanB.已知锐角α的始边在x轴的正半轴上，
（顶点在原点）终边上一点P的坐标为(2, 3)，
求角α的四个三角函数值。M成果检测sinα= ，
cosα= ，
tanα= ，
cotα= ．解:过P作OM⊥x轴于M,则OM＝2,PM＝3由勾股定理得OP＝www.czsx.com.cn若已知锐角α的始边在x轴的正半轴上,(顶点在原点)
终边上一点P的坐标为(x, y)，它到原点的距离为r
求角α的四个三角函数值。成果推广sinα= ，
cosα= ，
tanα= ，
cotα= ．M如图：在三角形ABC中，∠C=Rt ∠,CD⊥AB，垂足是D，
BD=3,CD=4 求:角A 的四个三角函数值．看看谁最厉害！解:由勾股定理得∴sinA= ，
cosA= ，
tanA= ，
cotA= ．易证∠A＝∠BCD练习：1.下图中∠ACB=90° ，CD⊥AB
指出∠A的对边、邻边。2.上题中如果CD=5，AC=10，
则sin∠ACD=________
sin ∠DCB=________ 中考链接：（1）在△ABC中，∠B=90o ，BC=3，AB=4，则tanA=_____ cosA=______
（2）tanA·cot20o=1，则锐角∠A=_____
(２００３年北京 )小 结 通过我们这一节课的探索与学习，你一定有好多的收获，你能把这些知识点加以收集与总结吗？ 在Rt△ABC中,∠C＝Rt∠,我们把: sin A= cos A= tan A= cot A= 分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数.(1)sinA 不是一个角 (2)sinA不是 sin与A的乘积
(3) sinA 是一个比值 (4)sinA 没有单位在直角三角形中，两锐角A+B=90度，
则A 、 B的三角函数有如下关系：
sinA=cosB, cosA=sinB,
tanA=cotB, cotA=tanB.tanA.cotA=1你能利用直角三角形的三边关系得到sinA与 cosA的取值范围吗？0＜sin A＜1，0＜cos A＜1 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1.65米10米? 你想知道小明怎样算出的吗？探索新知ABC旗杆高BD＝D≈1.65+10×0.675=8.4米再见课件14张PPT。28.1 锐角三角函数(1)探究新知(一) 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 请你用几何图形和数学语言来表示。 在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。这个问题中若高度变为50m，则要多长的水管？探究新知(二) 任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°， ∠ A=45°，计算∠A的对边与斜边的比BC/AB，你能得出什么结论？我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示. 观察图5-2中的Rt△OPM和Rt△OP1M1，它们之间有什么关系？Rt△OPM∽Rt△OP1M1P1M1
OP1=______,OPM1P1M结论 在Rt△ABC中， ∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine）。记作sinA，即(1)sinA 不是一个角 (2)sinA不是 sin与A的乘积
(3) sinA 是一个比值 (4)sinA 没有单位应用新知例1、如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，求sinA和sinB的值。练习：P79-练习 观察图5-2中的Rt△OPM和Rt△OP1M1，它们之间有什么关系？Rt△OPM∽Rt△OP1M1P1M1
OP1OM
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PMP1M1
OM1=______,=______,=______,OM1
P1M1=______,OPM1P1M例2、如图，在△ABC中， AB=BC=5，sinA=4/5，求△ABC 的面积。应用新知例3、在平面直角坐标系中，有一条直线l：y=5/12x，l与x轴的正半轴的夹角为α，求sinα的值。应用新知三角函数符号最早的使用1949年至今，由于受前苏联教材的影响，我国数学书籍中“cot”改为“ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。小资料sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导
人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。Cosine（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔首先使用，最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。Secant(正割)及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·劳克首创，最早见于
他的《圆几何学》一书中。Cosecant（余割）一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书。1626年，阿尔贝特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin” ,“tan” ,“sec”.
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”，“csc”。便直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。www.czsx.com.cn再见课件14张PPT。28.1 锐角三角函数（1）问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB 分析：情
境
探
究在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于ABC50m30mB 'C ' 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ABC综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论问题 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C' 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有cab对边斜边 正 弦 函 数例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34 例 题 示 范(1)(2)根据下图，求sinA和sinB的值．C3 练习1.在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____
2.在RT△ABC中,∠C=900,AD是BC边上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=_____.
3.在 RT△ABC中,
则sin∠A=___.ACBBACD1.已知△ABC中,∠ACB=900,CD⊥AB于D,若AB=5,BC=4,求sinα的值.αABC2.△ABC中,AB=8,BC=6,S△ABC=12,试求sinB的值.Dwww.czsx.com.cnABCDE3.已知在RT△ABC中,∠C=900,D是BC中点,DE⊥AB,垂足为E,sin∠BDE=
AE=7,求DE的长.ACB4.在△ABC中,∠C=900,sinA+sinB=
,AC+BC=28,求AB的长.课件16张PPT。 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1.65米10米? 请你说说小明是怎样算出来的？探索新知 你能否还能算出旗杆的高度?锐角三角函数我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，一般用c表示，另两条直角边分别叫∠A的对边与邻边，用a、b表示. 直角边a直角边b对于∠B来说直角边a,b又可以称作什么呢?
?10米20米15米30米在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于ACB思考:如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°, ∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比在一个直角三角形中,如果一个锐角等于45°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于你能得出什么结论?当∠A取其它一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢? 观察图5-2中的Rt△OPM和Rt△OP1M1，它们之间有什么关系？Rt△OPM∽Rt△OP1M1P1M1
OP1=______,在一个直角三角形中,当锐角度数一定时,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于一个固定值sin A= (1)sinA 不是一个角 (2)sinA不是 sin与A的乘积
(3) sinA 是一个比值 (4)sinA 没有单位sin B= B∠B的正弦如何表示呢?例1 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC=4，AC=3,
求sinB和sinA的值。3?例题讲解α的对边α的邻边斜边sinB=sinA=解:由勾股定理得BA＝54CBA135例题讲解1. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，BC:AC=1:2,则sinA= 。2.如图示, 在Rt△ABC中，∠B=Rt∠，b= c= ,则sin(90°-A)= 。3. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，若sinA= ,则∠A= . ∠B= .
CBAbac已知锐角α的始边在x轴的正半轴上，
（顶点在原点）终边上一点P的坐标为(2, y)，
sinα= 则y的值.M成果检测sinα= 解:过P作OM⊥x轴于M,则OM＝2,PM＝y由勾股定理得OP＝解得y=±∵y﹥0,∴y=练习：1.下图中∠ACB=90° ，CD⊥AB
指出∠A的对边、邻边。2.上题中如果CD=5，AC=10，
则sin∠ACD=________
sin ∠DCB=________ 中考链接：在△ABC中，∠B=90o ，BC=3，AB=4，则sinA=_____ sinC=______
(２００３年北京 )三角函数符号最早的使用1949年至今，由于受前苏联教材的影响，我国数学书籍中“cot”改为“ctg”，“tan”改为“tg”，其余四个符号均未变。这就是为什么我国市场上流行的进口函数计算器上有“tan”而无“tg”按键的缘故。小资料sine(正弦)一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导
人物，他于1464年完成的著作《论各种三角形》，1533年开始发行，这是一
本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。Cosine（余弦）及cotangent（余切）为英国人根日尔首先使用，最早在1620年伦敦出版的他所著的《炮兵测量学》中出现。Secant(正割)及tangent（正切）为丹麦数学家托马斯·劳克首创，最早见于
他的《圆几何学》一书中。Cosecant（余割）一词为锐梯卡斯所创。最早见于他1596年出版的《宫廷乐章》一书。1626年，阿尔贝特·格洛德最早推出简写的三角符号:“sin” ,“tan” ,“sec”.
1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“cos”，“cot”，“csc”。便直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆的高度了。1.65米10米?探索新知 你能否还能算出旗杆的高度?www.czsx.com.cn小 结 通过我们这一节课的探索与学习，你一定有好多的收获，你能把这些知识点加以收集与总结吗？
