人教版（2019）数学选择性必修一 第二章直线和圆的方程章末复习导学案（有答案）

第二章 直线和圆的方程章末复习
[知识体系]
[题型突破]
题型一　直线方程及其应用
直线方程的几种形式及确定
直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都有各自的限制条件，不能表示所有的直线；直线方程的一般式则可以表示所有直线．在解题的时候，如果没有特别说明，最后的结果都要化成一般式．
确定直线的方程有两种方法：
(1)待定系数法，在设点的时候，要注意对斜率不存在的直线的讨论；
(2)用轨迹的定义，从直线的几何性质出发，建立方程．
【例1】　若直线l满足如下条件，分别求出其方程．
(1)斜率为，且与两坐标轴围成的三角形面积为6；
(2)经过两点A(1,0)及B(m,1)；
(3)将直线l绕其上一点P沿顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)所得直线方程是x－y－2＝0，若继续旋转90°－α，所得直线方程为x＋2y＋1＝0；
(4)过点(－a,0)(a＞0)且截第二象限及坐标轴得一面积为S的三角形区域．
跟踪训练
1．已知一直线被直线4x＋y＋6＝0和3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好为坐标原点．求这条直线的方程．
2．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
题型二　平行与垂直的性质及判定
利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直关系是这部分知识常涉及的题型．求解时，可以利用斜率之间的关系判定；若方程都是一般式，知道平行或垂直关系，求参数的值时也可用如下方法：
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2时，可令A1B2－A2B1＝0，解得参数的值后，再代入方程验证，排除重合的情况；
(2)l1⊥l2时，可利用A1A2＋B1B2＝0直接求参数的值．
【例2】　已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值．
跟踪训练
3．过点M(1,5)和N(－2,9)分别作两条平行直线，使它们之间的距离等于5，则满足条件的直线共有(　　)
A．0组　　 B．1组　　 　C．2组　　 　D．3组
4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
题型三　圆的方程的求法
圆的方程中含有三个未知数，求圆的方程时，一般先设出圆的方程，然后寻找三个相互独立的条件，解方程组可求出圆方程中的参数．
【例3】　求下列各圆的方程．
(1)圆心在直线y＝0上，且过两点A(1,4)，B(3,2)；
(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)；
(3)圆心在直线5x－3y＝8上且与两坐标轴相切；
(4)过△ABC的三个顶点，且顶点坐标分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)．
跟踪训练
5．有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的方程．
题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系判断
(1)判断方法
①代数法即利用Δ；
②几何法即利用圆心到直线的距离d与半径的关系；
③利用动直线过定点且定点在圆的内部也可快速判断直线与圆相交．
(2)弦长问题
直线被圆截得的弦长l＝2.
2．圆与圆的位置关系
(1)判断方法：利用圆心距d及R－r、R＋r的关系判断．
(2)相交两圆公共弦的直线方程的求法，即将两圆方程相减．
(3)两圆的公切线要注意分内公切线与外公切线情形．
【例4】　过点P(－2，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B.求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长．
跟踪训练
6．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
参考答案
【例1】解析：
(1)斜截式
设直线方程为y＝＋b.
令y＝0，则x＝－，
∴|b×|＝12，得b＝±3，
∴l的方程为3x－4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.
(2)两点式
当m≠1时，＝，
得x－(m－1)y－1＝0，
当m＝1时，方程为x＝1.
(3)点斜式
由，得P(1，－1)．
又直线l与直线x＋2y＋1＝0垂直．
∴l的斜率为2，l的方程为y＋1＝2(x－1)，
即2x－y－3＝0.
(4)截距式
设＋＝1，∵ab＝S，b＝，
得2Sx－a2y＋2aS＝0.
跟踪训练
1．解析：因为已知两直线在y轴上的截距不是互为相反数，故所求直线不是y轴．设所求直线的方程为y＝kx.
由得
由得
由题意知－＋＝0，所以k＝－，
故所求直线方程为x＋6y＝0.
2．解：
(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等，则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，
∴a＝2，方程即3x＋y＝0.
若a≠2，由于截距存在，∴＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.
∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴l不经过第二象限，当且仅当，∴a≤－1，
综上可知，a的取值范围是a≤－1.
【例2】解析：
(1)∵k1＝＝，
∴k2存在且k2＝＝.
由于l1∥l2，∴k1＝k2，
即＝，
解得a＝±.
又当a＝±时，kAM≠kBM，kAN≠kBN，
∴A，B，M，N不共线，
∴a＝±适合题意．
(2)∵k1＝，
①a＝1时，k1＝0，k2＝1，k1·k2＝0，不合题意．
②a≠1时，k1≠0，∵l1⊥l2，k2存在，
则k2＝(a≠－1)．
由于l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即·＝－1，
∴a＝0.
跟踪训练
3．解析：本题考查两点间的距离公式及两直线平行．因为|MN|＝＝5，所以满足条件的直线有且仅有1组，它们与线段MN所在的直线垂直，故选B.
答案：B
4．解析：∵直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，
∴×＝－1，∴m＝1.
答案：1
【例3】解析：
(1)设圆心坐标为(a,0)，
∴(a－1)2＋(0－4)2＝(a－3)2＋(0－2)2，
即a2－2a＋1＋16＝a2－6a＋9＋4，
∴4a＝－4，∴a＝－1，∴r＝ ＝2，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20.
(2)过点M且与直线x＋y－1＝0垂直的直线l的方程为y＋1＝x－2即y＝x－3.
由得
即圆心为(1，－2)，r＝ ＝，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(3)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与两坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
由得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
(4)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C三点都在圆上，
∴解得
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
跟踪训练
5．解析：由题意可设所求圆的方程为：
(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，
又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，
所以所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.
【例4】解析：
(1)如图所示，连接CA、CB.由平面几何知，CA⊥PA，CB⊥PB.这些点P、A、C、B共圆，且CP为直径，这也是过三点A、B、C的圆．
∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，
∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，
即x2＋y2－2x＋y－14＝0.
(2)直线AB即为这两个圆的公共弦所在直线．
由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y－25＝0.
(3)设AB、PC交于点Q，
则|PQ|＝＝，
|CQ|＝＝ .
在Rt△PCA中，因为AQ⊥PC，由平面几何知
|AQ|2＝·＝.
|AB|＝2|AQ|＝2· ＝.
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6．解析：
(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)，故可设圆C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组
消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.
由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0，
∴x1＋x2＝4－a，x1x2＝
由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋a)(x2＋a)
＝2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝2·＋a(4－a)＋a2
＝a2－2a＋1＋4a－a2＋a2＝a2＋2a＋1＝(a＋1)2＝0，
∴a＝－1，经检验a＝－1满足Δ>0，故a＝－1.