人教版（2019）数学选择性必修二 4_1数列的概念 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
数列的概念(1)
高二选择性必修二
本节目标
1.理解数列的概念．
2.掌握数列的通项公式及应用．
3.理解数列是一种特殊的函数．理解数列与函数的关系．
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．
课前预习
(1)什么是数列？什么叫数列的通项公式？
预习课本P2～5，思考并完成以下问题
(3)数列与函数有什么关系，数列通项公式与函数解析式有什么联系？
(2)数列的项与项数一样吗？
课前小测
(1)数列2，4，6，8，…2n是无穷数列． (　　)
(2)通项公式为an＝n＋1的数列是递增数列． (　　)
(3)数列4，0，－2，－4，－6的首项是4． (　　)
(4)30是数列an＝2n－1中的某一项 ． (　　)
无穷数列的末尾带有…
×
an＝n＋1对应的函数y＝x＋1是增函数
√
√
当2n－1＝30时，n值不是正整数
×
第一个位置的项是首项
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于(　　)
A．2 B．3 C．9 D．32
将n＝2代入通项公式，得a2＝32－1＝3
B
3．下列可作为数列{an}：1，2，1，2，1，2…的通项公式的是(　　)
A．an＝1 B．an＝
C．an＝2－ D．an＝
C
4．数列1，2， ，，，…中的第26项为________．
所以a26＝ ＝ ＝2.
因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝ ，a4＝，a5＝
所以an＝
2
5．填空：2，3，____，5，2，____，2，9，2，11，…
an＝
2，n为奇数
n+1，n为偶数
2
7
新知探究
1．数列的概念及一般形式
数列
有关概念
一般形式
定义：按照确定的顺序排列的一列数
项：数列中的__________叫做这个数列的项；数列的第一个位置上的数称为这个数列的第1项(通常也叫首项)，记为a1，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用________表示.
a1，a2，a3，···，an，···，简记为________.
每一个数
an
{an}
思考：数列的项和它的项数是否相同？
提示：数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．
思考：数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？
提示：数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．
2．数列的分类
类别 含义
按项的个数　 有穷数列 项数_______的数列
无穷数列 项数_______的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项的数列
常数列 各项都_______的数列
摆动数列 从第2项起，有些项_____它的前一项，有些项______它的前一项的数列
有限
无限
大于
小于
相等
大于
小于
3．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
序号n
4．数列与函数的关系
从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 ___________(或它的有限子集{1，2，3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 自变量从1开始，按照______________________时，对应的一列函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)______；(3)______
正整数集N*
从小到大的顺序依次取值
列表法
图象法
思考：数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？
提示：如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　数列的概念与分类
[例1]　(1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是(　　)
A．1，，，，…
B．sin，sin，sin，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
无穷数列
无穷数列
无穷数列
递减数列
摆动数列
递增数列
C
(2) (一题多空)已知下列数列：
①2013，2014，2015，2016，2017，2018，2019，2020；
②1，，，…，，…；
③1，，，…，，…；
④1，0，－1，…，sin，…；
⑤2，4，8，16，32，…；
⑥－1，－1，－1，－1.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．
①
⑥
②
③
④
⑤
①
⑤
②
⑥
③
④
2．数列{an}的单调性：若满足an＜an＋1，则{an}是递增数列；若满足an＞an＋1，则{an}是递减数列；若满足an＝an＋1，则{an}是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则{an}是摆动数列．
1．有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项．若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．
方法总结
跟踪训练
1．给出下列数列：
①2013～2020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；
②无穷多个构成数列， ， ， ，…；
③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2，4，－8，16，－32，….
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，常数列是________，摆动数列是________．
①
②
③
①
②
③
题型二　由数列的前几项求通项公式
[例2]　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)4，44，444，4444，…；
(3)－1，3，－5，7，－9，…；
(4)2，－，，－， ，－，…；
(5)1，2，1，2，1，2，….
[例2]　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(1)1，3，7，15，31，…；
各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，…，
新数列的通项为2n，
故原数列的通项公式为an＝2n－1.
[例2]　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(2) 4，44，444，4444，…；
各项乘，变为9，99，999，…，
各项加上1后，数列变为10，100，1 000，…，
新数列的通项为10n，
故原数列的通项公式为an＝ (10n－1)．
[例2]　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(3)－1，3，－5，7，－9，…；
所给数列有这样几个特点：
①符号正、负相间；
②整数部分构成奇数列；
③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；
④分数部分的分子依次大1.
综合这些特点写出表达式，再化简即可．
由所给的几项可得数列的通项公式为an＝ ，
所以an＝(－1)n .
[例2]　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(4)2，－，，－， ，－，…；
数列的符号规律是正、负相间，
使各项分子为4，数列变为，－，，－，…，
再把各分母分别加上1，数列又变为，－， ，－，…，
所以an＝ .
[例2]　已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．
(5)1，2，1，2，1，2，….
an＝ ＝
法一
可写成分段函数形式：
an＝
1，n为奇数，n∈N*
2，n为偶数，n∈N*
法二
即an＝ .
(1)数列1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n；
(2)数列1，3，5，7，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(3)数列2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n；
(4)数列1，2，4，8，…的一个通项公式为an＝2n－1；
(5)数列1，4，9，16，…的一个通项公式为an＝n2；
(6)数列－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n；
(7)数列1， ， ， ，…的一个通项公式为an＝ .
归纳总结
1．常见数列的通项公式归纳
①考察各项的结构；
②观察各项中的“变”与“不变”；
③观察“变”的规律是什么；
④每项符号的变化规律如何；
⑤得出通项公式．
2．复杂数列的通项公式的归纳方法
方法总结
跟踪训练
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(1)9，99，999，9999，…；
(2)1，－3，5，－7，9，…；
(3) ，2， ，8， ，…；
(4)3，5，9，17，33，….
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(1) 9，99，999，9999，…；
各项加1后，变为10，100，1000，10000，…，
新数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(2) 1，－3，5，－7，9，…；
数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，…，是连续的正奇数，其通项公式为2n－1，
考虑到(－1)n＋1具有转换正、负号的作用，
所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(3) ，2， ，8， ，…；
数列的项有的是分数，有的是整数，
可将各项统一成分数再观察： ，，，，，….
所以，它的一个通项公式为an＝ .
2．写出下面各数列的一个通项公式：
(4) 3，5，9，17，33，….
3可看作21＋1，
5可看作22＋1，
9可看作23＋1，
17可看作24＋1，
33可看作25＋1，…，
所以原数列的一个通项公式为an＝2n＋1.
题型三　通项公式的应用
[探究问题]
1．根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？
[提示]　根据an，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n＝5，求a5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程．令an等于该项，解得n∈N*即是，否则不是．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋2n＋1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项．
[提示]　由数列与函数的关系可知，数列{an}的图象是分布在二次函数y＝－x2＋2x＋1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项．
[探究问题]
[例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第4项和第6项；
(2)－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？
(2)令3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，
所以－49是该数列的第7项；
令3n2－28n＝68，解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项．
(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.
多维探究
变式1 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.
(1)写出此数列的第3项和第8项；
(2)20是否是该数列的一项？若是，是哪一项？
(1)因为an＝3n2－28n，
所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32.
(2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，
所以20是该数列的第10项．
变式2 已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋2n－5.
试判断数列an的单调性.
∵an＝n2＋2n－5，
∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5)
＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5＝2n＋3.
∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an.
∴数列{an}是递增数列．
1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．
2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．
3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})这一约束条件．
方法总结
随堂检测
1．在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于(　　)
A．11 B．12
C．13 D．14
观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，
故x＝5＋8＝13.
C
2．已知数列1，，，，…，，则3是它的(　　)
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
令＝3，解得n＝23.
所以3是它的第23项
B
3．数列{an}：－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　)A．an＝(－1)n(n∈N*)B．an＝(－1)n(n∈N*)C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)该数列的前几项可以写成－，，－，，…，故可以归纳为an＝(－1)nB4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2020－a2019＝________.
a2020－a2019＝(4×2020－1)－(4×2019－1)＝4×(2020－2019)＝4
a7＝4×7－1＝27
27
4
5．已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)，则
(1)计算a3＋a4的值；
∵an＝，
∴a3＝＝，a4＝ ＝ ，
∴a3＋a4＝ ＋＝ .
5．已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)，则
(2) 是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由．
是．
若为数列{an}中的项，则＝，
∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，
∴n＝10或n＝－12(舍)，即是数列{an}的第10项．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式；
也并不是通项公式都唯一．如，－1，1，－1，1，…，既可以写成an＝(－1)n，也可以写成an＝
－1，n为奇数
1，n为偶数
1．数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*(或它的一个子集{1，2，3，…，n})．
本课小结
4．数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题．
3．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？