人教版（2019）数学选择性必修二 4_1数列的概念 课件（共50张PPT）

(共50张PPT)
数列的概念(2)
高二选择性必修二
本节目标
1.理解递推公式的含义.
2.掌握递推公式的应用.
3.会用an与Sn的关系求通项公式.
本节目标
课前预习
(1)什么叫数列的递推公式？
(2)由数列的递推公式能否求出数列的项？
(3)什么是数列的前n项和？什么是数列的前n项和公式？
预习课本P5～7，思考并完成以下问题
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项． (　　)
(2)有些数列可能不存在最大项． (　　)
(3)递推公式是表示数列的一种方法． (　　)
(4)所有的数列都有递推公式． (　　)
√
√
√
×
2．已知数列{an}中的首项a1＝1，且满足an＋1＝ an＋，此数列的第3项是(　　)
A．1 B．　　　　C． D．
C
an＋1＝ an＋
a1＝1
a2＝ a1＋1
a3＝ a2＋ ×1+ =
3．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2020的值为(　　)
A． B．－1 C．2 D．1
an＋1＝1－
a1＝2
a2＝
a3＝ 1
a4＝2
至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：
2， ，－1，2， ，－1，….
而2020＝673×3＋1，故a2020＝a1＝2.
C
4．已知数列{an}的前n项和公式Sn＝n2－2n＋1，则其通项公式an＝_____________.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋1－(n－1)2＋2(n－1)－1＝2n－3，
而当n＝1时，a1＝12－2×1＋1＝0≠2×1－3，
所以通式公式an＝
0, n＝1
2n－3, n≥2
0, n＝1
2n－3, n≥2
新知探究
递推
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的______公式．
1．数列的递推公式
思考：所有数列都有递推公式吗？
提示：不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式．
2．数列递推公式与通项公式的关系
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项______ (或前几项)之间的关系 表示an与____之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 an－1
n
思考：仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
提示：不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
3．数列{an}的前n项和
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的_______之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(1)数列{an}从第___项起到第___项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝________________.
1
n
a1＋a2＋…＋an
序号n
S1, n＝1
Sn-Sn-1, n≥2
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为
an＝
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　由递推公式求数列中的项
[例1]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[例1]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.
[例1]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝ ＝，b3＝ ＝ ，b4＝ ＝.
故{bn}的前4项依次为b1＝ ，b2＝ ，b3＝ ，b4＝ .
(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.
(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.
(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝ .
由递推公式写出数列的项的方法
方法总结
跟踪训练
1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝ 给出，试写出这个数列的前5项．
a2＝
＝
a3＝
＝
a4＝
＝
a5＝
＝
题型二　数列的单调性
[例2]　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
思路探究
判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式．
[例2]　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
an＋1－an＝(n＋3)× －(n＋2)×＝× .
当n＜5时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n＞5时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞a8＞…，
法一：作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝.
[例2]　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
又an＞0，
法二：作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性．
令＞1，解得n＜5；令＝1，解得n＝5；令＜1，解得n＞5.
故a1＜a2＜a3＜a4＜a5＝a6＞a7＞…，
所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5＝a6＝ .
[例2]　已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
故数列{an}有最大项a5或a6，且a5＝a6＝.
法三：假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则
an≥an-1
an≥an+1
即
(n＋2)×≥ (n＋1)×
(n＋2)×≥ (n＋3)×
即5≤n≤6.
解得
n≤6
n≥5
求数列{an}的最大(小)项的方法
利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.
1
设ak是最大项，则有 对任意的k∈N*且k≥2都成立，解不等式组即可.
ak≥ak-1
ak≥ak+1
2
方法总结
跟踪训练
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.
(1)数列中有多少项为负数？
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.
(1)数列中有多少项为负数？
令an＜0，即n2－7n－8＜0，得－1＜n＜8.
又n∈N*，所以n＝1，2，3，…，7，
故数列从第1项至第7项均为负数，共7项．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－7n－8.
(2)数列{an}是否有最小项？若有，求出其最小项．
函数y＝x2－7x－8图象的对称轴为直线x＝，
所以当1≤x≤3时，函数单调递减；
当x≥4时，函数单调递增，
所以数列{an}有最小项，又a3＝a4＝－20，
所以数列{an}的最小项为a3或a4.
题型三 利用an= 求通项　
S1, n＝1
Sn-Sn-1, n≥2
[例3]　根据下列数列的前n项和Sn求通项an.
(1) Sn＝2n2－n＋1；
(2) Sn＝2·3n－2.
[例3]　根据下列数列的前n项和Sn求通项an.
(1) Sn＝2n2－n＋1；
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3.
∴an＝
2, n＝1
4n-3, n≥2
[例3]　根据下列数列的前n项和Sn求通项an.
(2) Sn＝2·3n－2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝2·3n－2－(2·3n－1－2)
＝4·3n－1.
∴an＝4·3n－1(n∈N*)．
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4·31－1，
(1)先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(2)再利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4)写出数列的通项公式.
用an与Sn的关系求an的步骤
方法总结
跟踪训练
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an.
根据条件可得Sn＝2n＋1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n－1－1
＝2n－1(2－1)
＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1，
∴an＝
3, n＝1
2n－1, n≥2
题型四　根据递推公式求通项
[探究问题]
1．某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列{an}，满足a1＝20，an＋1＝an＋2，你能归纳出数列{an}的通项公式吗？
提示：由a1＝20，an＋1＝an＋2得a2＝a1＋2＝22，
a3＝a2＋2＝24，a4＝a3＋2＝26，a5＝a4＋2＝28，…，
由以上各项归纳可知an＝20＋(n－1)·2＝2n＋18.
即an＝2n＋18(n∈N*，n≤30)．
2．对于任意数列{an}，等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an都成立吗？若数列{an}满足：a1＝1，an＋1－an＝2，你能求出它的通项an吗？
提示：等式a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an成立，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2+2+···+2＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(n－1)个2
[探究问题]
3．若数列{an}中的各项均不为0，等式a1· · ·…· ＝an成立吗？若数列{an}满足：a1＝3， ＝2，则它的通项an是什么？
提示：等式a1· · ·…· ＝an成立．
按照＝2可得＝2， ＝2， ＝2，…， ＝2(n≥2)，将这些式子两边分别相乘可得· · ·…· ＝2·2·…·2.
则＝2n－1，所以an＝3·2n－1(n∈N*)．
[探究问题]
[例4]　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
(2)设数列{an}中，a1＝1，an＝ an－1(n≥2)，求通项公式an.
[例4]　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an；
∵an＋1－an＝，
∴a2－a1＝ ；
a3－a2＝ ；
a4－a3＝ ；
以上各式累加得，
an－a1＝ ＋ ＋…＋ ＝(1)＋ ()＋…＋ ()＝1－.
∴an＋1＝1－ ，
…
an－an－1＝ .
[例4]　 (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝ an－1(n≥2)，求通项公式an.
∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴ ，
an＝ × × ×…× × ×a1
＝ × × ×…× × ×1＝ .
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝ (n∈N*)．
多维探究
变式1 已知数列{an}满足a1＝， an an-1＝an-1-(n≥2)，求数列{an}的通项公式；
∴ ＝n＋1，∴an＝ (n≥2)．又∵n＝1时，a1＝，符合上式，∴an＝ (n∈N*).
∵anan－1＝an－1－an，∴ ＝1.
∴ ＝ ＋()＋ () ＋…＋()
＝2＋1+1+···+1＝n＋1.
(n－1)个1
变式2 设数列{an}中，a1＝2，an+1＝an(n∈N*)，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
由a1＝2，an＋1＝3an，得：
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
变式2 设数列{an}中，a1＝2，an+1＝an(n∈N*)，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
证明如下：由an＋1＝3an得＝3.
因此可得＝3， ＝3， ＝3，…， ＝3.
将上面的n－1个式子相乘可得
· · ·…· ＝3n－1.
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1.
(1)累加法
当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式；
(2)累乘法
当＝g(n)时，常用an＝ · ·…· ·a1求通项公式.
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：
方法总结
随堂检测
1．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　)
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2)，则数列的通项公式an＝(　　)
A．3n＋1 B．3n C．3n－2 D．3(n－1)
根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，
可以归纳出an＝3n－2.
C
3．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.
an＋1＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝ ，∴a1＝ .
4．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求an.
由题意得an＋1－an＝ln ，
∴an－an－1＝ln (n≥2)，
an－1－an－2＝ln ，
∴当n≥2时，an－a1＝ln(· ·…·)＝ln n，
∴an＝2＋ln n(n≥2)．
当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，
∴an＝2＋ln n(n∈N*)．
…，
a2－a1＝ln .
通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.
1．数列的四种表示方法
(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法．
2．通项公式和递推公式的区别
本课小结
3．数列通项公式的求法
(1)观察法．根据给出数列的前几项观察归纳；
(2)累加法．适合类型为an＋1＝an＋f(n)；
(3)累乘法．适合类型为an＋1＝anf(n)；
(4)利用an与Sn关系，即an＝
S1, n＝1
Sn-Sn-1, n≥2
通过本节课，你学会了什么？