人教版（2019）数学选择性必修二 4_2_1等差数列 课件（共49张PPT）

(共49张PPT)
等差数列 (1)
高二选择性必修二
本节目标
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式及应用.
3.掌握等差数列的判定方法.
课前预习
(1)等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
(2)等差数列的通项公式是什么？
(3)等差中项的定义是什么？
预习课本P12～15，思考并完成以下问题
课前小测
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列． (　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． (　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列． (　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列
若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列
×
√
当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列
√
2．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝(　　)
A．22 B．24 C．26 D．28
D
a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28
3．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．4
D
2a＋(a－6)＝3×2
a＝4
4．在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则B等于________．
B＝60°
2B＝A＋C
A＋B＋C＝180°
3B＝180°
60°
5．已知数列{an}的首项a1＝，且满足＝ ＋5(n∈N*)，则a6＝________.
＝ 5
{}为等差数列
＝3＋5×5＝28
＝3
a6＝
新知探究
1．等差数列的概念
文字语言 如果一个数列从第___项起，每一项与它的_______的差都等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个_____叫做等差数列的公差，公差通常用字母__表示
符号语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2
前一项
同一个常数
常数
d
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是_____________.
a＋b＝2A
思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：
(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.
提示：插入的数分别为3，2， ，0.
3．等差数列的通项公式
以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝______________.
a1＋(n－1)d
思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
提示：还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
4．从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加______.
d
思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？
提示：只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　等差数列的通项公式
[例1]　已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
故a75＝a1＋74d＝ ＋74×＝24.
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由题意得
解得
a1＋14d ＝8
a1＋59d ＝20
a1＝
d ＝
法一
题型一　等差数列的通项公式
[例1]　已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
法二
∴a75＝a60＋(7560)d＝20＋15×＝24
∵a60＝a15＋(6015)d
∴d＝＝
题型一　等差数列的通项公式
[例1]　已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
法三
∴a75＝75×＋4＝24.
已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.
由a15＝8，a60＝20得
15k＋b＝8
60k＋b ＝20
解得
k＝
b ＝4
等差数列通项公式的妙用
等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中含有四个量，即an，a1，n，d，如果知道了其中的任意三个量，就可以由通项公式求出第四个量，这一求未知量的过程我们通常称之为“知三求一”.
1
从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数.
2
由两点确定一条直线的性质可以得出，等差数列的任意两项可以确定这个等差数列.若已知等差数列的通项公式，可以写出数列中的任意一项．
3
方法总结
跟踪训练
(1)已知a1＝6，d＝3，求a8；
(2)已知a4＝10，a10＝4，求a7和d；
1．在等差数列{an}中，
∵a1＝6，d＝3，
∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3.
∴a8＝3×8＋3＝27.
∵a4＝10，a10＝4，
∴d＝＝＝1，
∴an＝a4＋(n4)×(1)＝n＋14，
∴a7＝7＋14＝7.
跟踪训练
(4)已知a7＝，d＝－2，求a1.
(3)已知a2＝12，an＝－20，d＝－2，求n；
1．在等差数列{an}中，
∵a2＝12，d＝2，
∴a1＝a2d＝12(2)＝14，
∴an＝142(n1)＝162n＝20，
∴n＝18.
∵a7＝a1＋6d＝a112＝
∴a1＝.
题型二　等差中项的应用
[例2]　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．
(2)已知，，是等差数列，求证：， ，也是等差数列．
[例2]　(1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．
∴m＋n＝12
m+2n=8×2
2m+n=10×2
∴3(m＋n)＝20＋16＝36
∴ ＝6
6
[例2]　 (2)已知，，是等差数列，求证：， ，也是等差数列．
2ac＝b(a＋c)
∴， ，成等差数列
(2)证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.
等差中项应用策略
(1)求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝.
方法总结
跟踪训练
2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．
∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝ ＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝ ＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝＝5.
∴该数列为：－1，1，3，5，7.
题型三　等差数列的判定与证明
[探究问题]
1．在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*)，则{an}是等差数列吗？为什么？
提示：由等差数列的定义可知满足an－an－1＝d(常数)(n≥2)是等差数列．
2．在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？
提示：是，由等差中项的定义可知．
[探究问题]
3．若{an}是公差为d的等差数列，那么{an＋an＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？
提示
∵(an＋1＋an＋3)－(an＋an＋2)
＝(an＋1－an)＋(an＋3－an＋2)
＝d＋d＝2d.
∴{an＋an＋2}是公差为2d的等差数列．
[探究问题]
[例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
[例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
∵a1＝2，an＋1＝ ，
∴＝ ＝ ＋，
∴ －＝，
即是首项为＝ ，公差为d＝的等差数列．
数列是等差数列，理由如下：
[例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(2)求an.
由(1)可知＝＋(n－1)d＝ ，
∴an＝.
多维探究
变式1 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝ .
(1)试证明数列为等差数列？
(2)求数列{an}的通项公式.
变式1 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝ .
(1)试证明数列为等差数列？
bn＋1－bn＝－
＝ －＝ －
＝ ＝.
又b1＝ ＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
变式1 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝ .
(2)求数列{an}的通项公式.
由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2.
变式2 已知数列{an}满足a1＝，＝(n>1, n∈N*).
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
变式2 已知数列{an}满足a1＝，＝(n>1, n∈N*).
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
＝ (n＞1，n∈N*)
∴an－1(1－2an)＝an(2an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，
即an－1＝an(4an－1＋1)(n＞1，n∈N*)，
∴an＝(n＞1，n∈N*)，
∴＝ ＝4＋(n＞1，n∈N*)，
∴ －＝4(n＞1，n∈N*)，
∴数列是等差数列且公差为4，首项为5.
法一
当n＞1，n∈N*时，
＝ ＝ －2＝2＋ － ＝4，且＝5.
∴ 是等差数列，且公差为4，首项为5.
变式2 已知数列{an}满足a1＝，＝(n>1, n∈N*).
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
法二
变式2 已知数列{an}满足a1＝，＝(n>1, n∈N*).
(2)求an.
由(1)及等差数列的通项公式得
＝5＋(n－1)×4＝4n＋1，
∴an＝ .
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*) {an}为等差数列；
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*) {an}为等差数列；
(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*) {an}为等差数列.
但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
等差数列的三种判定方法
方法总结
随堂检测
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列(　　)
A．是公差为－3的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．
对比an＝－3n＋5.故公差为－3.
A
2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝(　　)
A．8 B．12 C．16 D．24
a1＋d＝2
a1＋4d＝8
a1＝0
d＝2
a9＝a1＋8d＝16
C
3．已知a＝ ，b＝ ，则a，b的等差中项为______．
4．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
由题意得
a1+a2 = a3
a1a2 = a4
∴
2a1+d = a1 +2d
a1(a1 +d )= a1 +3d
解得
a1=2
d =2
1．在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”．在证明中应注意验证“第一项”也满足条件．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
3．等差数列的单调性
d＞0 等差数列是递增数列．
d＜0 等差数列是递减数列．
d＝0 等差数列是常数列．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？