人教版（2019）数学选择性必修二 4_2等差数列 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
等差数列
新课程标准 考向预测 1.通过实例，理解等差数列的概念． 2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.体会等差数列与一次函数的关系. 命题角度 1.等差数列的基本运算
2.等差数列的判定与证明
3.等差数列的性质及应用
核心素养 逻辑推理、数学运算
基础梳理
一、等差数列的有关概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的_______，符号表示为_______________(n∈N*，d为常数)．
定义
同一个常数
公差
an＋1－an＝d
要注意概念中的 “从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
易错提示
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____________.
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a，b的等差中项，且A＝__________.
等差中项
通项公式
a1＋(n－1)d
前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a1，an，n Sn＝_______________
a1，d，n Sn＝________________
C
基础小测
1．在等差数列11，8，5，…中，－49是它的(　　)
A．第19项 B．第20项
C．第21项 D．第22项
2．(2020届四川天府名校上学期第一轮联合质量测评)已知数列{an}满an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，且a5＝10，a7＝14，则a2020－a2019＝(　　)
A．2 B．1
C．－2 D．－1
A
1．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，是关于n的一次函数．对应结论：(1)an＝am＋(n－m)d；(2)an＝nd＋(a1－d)；(3)d＝ (n≠1)或d＝ (m≠n)．
知识拓展
2．等差数列的前n项和公式Sn＝ ＝na1＋，前一个公式(由倒序相加法推得)与中项有关(相当于n个等差中项之和)，后一个公式是关于n的没有常数项的二次函数(Sn＝An2＋Bn)．
二、等差数列的有关性质
类型 性质
项的性质 k＋l＝2m(k，l，m∈N*) ______________
若m＋n＝p＋q(p，q，m，n∈N*)，则__________________
等差数列中下标成等差数列的项仍成等差数列
若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}(n∈N*)是等差数列
ak＋al＝2am
am＋an＝ap＋aq
和的性质 任意连续m项的和构成的数列Sm，S2m－Sm，__________，…仍为等差数列
等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝__________
等差数列的增减性：d>0时为__________数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值；d<0时为________数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值
S3m－S2m
递增
递减
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
C
基础小测
2．(2020届云南师范大学附属中学高三上学期第一次月考)在等差数列{an}中，a5＋a13＝40，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11＝(　　)
A．40 B．60 C．80 D．100
D
考点突破
[例1] (2019全国卷Ⅰ，9)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
A
考点一　等差数列的基本量计算(高考热度：★★★)
1．等差数列运算问题的一般解法：先设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，已知其中三个就能求出另外两个，体现了方程的思想．
方法总结
1．(多选题)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝a4，则(　　)
A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0
C．S3＝S4 D．S4＝S5
BC
考点微练
2．若Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＋a9＋a19＝6，则a10＝________，S19＝________.
2
38
考点二　等差数列的判定和证明(高考热度：★★★)
[例2] (2019湖北高三4月份调研考试)已知数列{an}满足a2－a1＝1，其前n项和为Sn，当n≥2时，Sn－1－1，Sn，Sn＋1成等差数列．
(1)求证：{an}为等差数列；
(2)若Sn＝0，Sn＋1＝4 ，求n.
等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中的证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
方法总结
如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件．
易错提醒
考点微练
已知数列{an}满足a1＝6，an＋1＝ (n∈N*)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{lg an}的前n项和Tn.
[例3] (2020届广东珠海高三9月月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝S10，则a11＋a5＝(　　)
A．0 B．5 C．8 D．16
A
考点三　等差数列的性质(高考热度：★★★)
等差数列{an}中，若a4＋a6＋a13＋a15＝20，则a10－a12的值是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．8
A
对点变式
[例4] 设等差数列{an}的前n项和为Sn. 若S3＝9，S6＝27，则S9＝(　　)
A．45 B．54
C．72 D．81
B
利用等差数列项的性质解决基本量的运算，体现了整体求值思想，应用时常将am＋an＝2ap(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．
方法点拨
方法点拨
在等差数列{an}中，依据题意应用其前n项和的性质解题能比较简便地求出结果，常用的性质有数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，且S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)，S2n－1＝(2n－1)an.
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝14，an－3＝28(n＞7)，Sn＝225，则n＝(　　)
A．8 B．9 C．15 D．17
C
考点微练
2．(2020届山东德州上学期期中)等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
考点四　等差数列前n项和的最值问题(高考热度：★★)
[例5] (2020届山东模拟)在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得Sk>Sk＋1且Sk＋1(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
技法点拨
1．已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn.若a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，则Sn的最大值为(　　)
A．5 B．11 C．20 D．25
D
考点微练
C
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析过程见配套学案
通过本节课，你学会了什么？