人教版（2019）数学选择性必修二 4_3_1等比数列的概念 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
等比数列的概念 (1)
高二选择性必修二
本节目标
1.理解等比数列的概念
2.掌握等比数列的通项公式和等比中项及其应用
3.熟练掌握等比数列的判定方法
课前预习
(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？
(2)等比数列的通项公式是什么？
(3)等比中项的定义是什么？
预习课本P27～31，思考并完成以下问题
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　)
课前小测
(4)任何两个数都有等比中项． (　　)
只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　)
(3)常数列一定为等比数列． (　　)
当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列
当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项
×
×
×
×
2．下列数列是等比数列的是(　　)
A．3，9，15，21，27
B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C． ， ， ， ，
D．4，－8，16，－32，64
×
×
×
√
D
3．2＋和2－的等比中项是(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．2
设2＋和2－的等比中项为a，
则a2＝(2＋)(2－)＝1.
即a＝±1.
C
4．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝(　　)
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
∵a1，a3，a4成等比数列．
∴a1a4＝ ，
即a1(a1＋6)＝(a1＋4)2，解得a1＝－8，
∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.
B
5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________.
{an}为等比数列，q＝2
a1＝2
a3＝2×22＝8
8
新知探究
1．等比数列的概念
文字语言 一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的比都等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q表示(q≠0)
符号语言 ＝______(q为常数，q≠0，n∈N*)
2
同一个常数
公比
q
_______叫做a，b的等比中项．
2. 等比中项
G2＝________.
G
ab
等比中项
前提
三个数a，G，b成等比数列．
结论
关系式
思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？
提示：不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝_________.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．
a1·qn－1
4．等比数列与指数函数的关系
等比数列的通项公式可整理为an＝ ·qn，而y＝ ·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝ ·qx的图象上的_______点．
孤立
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　等比数列通项公式的基本运算
[例1]　在等比数列{an}中，
(1) a4＝2，a7＝8，求an；
(2) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[例1]　在等比数列{an}中，
(1) a4＝2，a7＝8，求an；
所以an＝a1qn－1＝ .
设首项为a1，公比为q.
因为
所以
=2
①
②
由 得q3＝4
②
①
从而q＝
而a1q3＝2，
于是a1＝＝，
法一
[例1]　在等比数列{an}中，
(1) a4＝2，a7＝8，求an；
设首项为a1，公比为q.
法二
因为a7＝a4q3，
所以q3＝4，q＝.
所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝ .
[例1]　在等比数列{an}中，
(2) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
即26－n＝20，所以n＝6.
因为
a2＋a5＝ 18
a3＋a6 ＝ ＝9
③
④
由 得q＝，从而a1＝32，
④
③
又an＝1，∴32× ＝1.
法一
[例1]　在等比数列{an}中，
(2) a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
法二
因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，
所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
方法总结
1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练
1．在等比数列{an}中，
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
1．在等比数列{an}中，
(1)已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，
∴4·2n－1＝128，
∴2n－1＝32，
∴n－1＝5，n＝6.
1．在等比数列{an}中，
(2)已知an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，
∴a1＝＝ ＝5.
1．在等比数列{an}中，
(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式．
a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·(－2)n－1＝(－1)n－12n，
∴数列{an}的公比q为2或－2，
对应的通项公式为an＝2n或an＝(－1)n－12n.
题型二　等比中项及应用
[例2]　已知在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝168，a2－a5＝42.求a5，a7的等比中项．
1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
设该等比数列的公比为q，
∵
∴
①
②
设G是a5，a7的等比中项，则应有
G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6
＝q10＝962·()10＝9，
∴a5，a7的等比中项是±3.
②÷①得q(1－q)＝ q＝ ，
∴a1＝＝ ＝96.
(1) 由等比中项的定义可知 G2＝ab G＝± ，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.
(2) 在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3) a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0).
等比中项应用的三点注意
归纳总结
跟踪训练
2．已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．
因为b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，
又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，
所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，
即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项.
题型三　等比数列的判断与证明
1．若数列{an}是等比数列，易知有＝q(q为常数，且q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)成立．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[探究问题]
[提示]　能．若数列{an}满足＝q(q为常数，q≠0)或＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)都能说明{an}是等比数列．
[探究问题]
2．若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1·qn－1(a，q为非零常数，n∈N*)．反之，能说明数列{an}是等比数列吗？
[提示]　能．根据等比数列的定义可知．
[例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列．
an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．
当n≥2时， ＝＝2；
当n＝1时， ＝＝.
故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；
当a≠－1时，数列{an}不是等比数列．
多维探究
变式1 将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求出{an}的通项公式．
变式1 将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
由an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，
所以＝4，
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
变式1 将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，(n∈N*)”．
(2)求出{an}的通项公式．
由(1)，可知an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
变式2 将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列．
∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1，
∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，
∴an＋1＝an.
又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.
又由an＋1＝an知an≠0，∴ ＝，
∴{an}是等比数列．
有关等比数列的判断证明方法
定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*) {an}为等比数列
中项公式法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0) {an}为等比数列
通项公式法 an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0) {an}为等比数列
方法总结
随堂检测
1．根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是(　　)
A．an＝n B．an＝
C．an＝2－n D．an＝log2n
C
2．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24 B．0
C．12 D．24
由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，
知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．
所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.
故第四项为－24
A
3．在等比数列{an}中，已知a1＞0，8a2－a5＝0，则数列{an}为________数列(填“递增”或“递减”)．
由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.
又a1＞0，所以数列{an}为递增数列．
递增
4．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.
由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，
所以通项公式an＝4n－1.
4n－1
5．已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an.
由a5≠a7知等比数列{an}的公比q≠1，设其通项公式为an＝c·qn.
由已知得 解得q2＝，
cq5 =8
cq7 =2
∵an＞0，
∴an＝256×()n＝ ()n-8.
∴
q＝
c=256
本课小结
(1)定义法： ＝q(q为常数且q≠0)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2) {an}为等比数列．
(2)等比中项法： ＝an·an＋2(an≠0，n∈N*) {an}为等比数列．
1．等比中项与等差中项的区别
(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．
(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个．
2.证明数列是等比数列常用的方法
通过本节课，你学会了什么？