人教版（2019）数学选择性必修二 4_3_2等比数列的前n项和公式 课件（共42张PPT）

(共42张PPT)
等比数列的前n项和公式(1)
高二选择性必修二
本节目标
1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用.
2.会用错位相减法求数列的和.
3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.
课前预习
公比是1的等比数列的前n项和如何计算？
能否根据首项、末项与项数求出等比数列的前n项和？
能否根据首项、公比与项数求出等比数列的前n项和？
预习课本P34～37，思考并完成以下问题
(3)1＋x＋x2＋…＋xn＝ ． (　　)
课前小测
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝ 来求． (　　)
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
×
√
×
q＝1时不成立
q＝1时不成立
(2)等比数列的前n项和公式可以简写成Sn＝－Aqn＋A(q≠1)． (　　)
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3 B．4 C． D．
＝ ＝
C
3．若首项为1的等比数列{an}的前3项和为3，则公比q为(　　)
A．－2 B．1
C．－2或1 D．2或－1
当q＝1时，S3＝3a1＝3，符合题意；
当q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3，解得q＝－2.
C
4．已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn，若q＝－，则＝________.
＝
＝
＝
＝
＝
5．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_____________．
去年产值为a，
从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a.
所以1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝a· ＝11(1.15－1)a.
11(1.15－1)a
新知探究
1．等比数列前n项和公式
na1
na1
提示：可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数．
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn
2．错位相减法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1qn，
整理得Sn＝ (q≠1)．
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
我们把上述方法叫_____________，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
错位相减法
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 等比数列基本量的运算
[例1]　在等比数列{an}中，
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
在等比数列{an}中，
(1) S2＝30，S3＝155，求Sn；
[例1]　
思路　
S2＝30
a1(1+q)＝30
S3＝155
a1(1+q+q2)＝155
或
a1＝5
q＝5
a1＝180
q＝
Sn＝ ×5n＋1－或Sn＝
在等比数列{an}中，
(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
[例1]　
思路一　
a1＋a3＝10
a1+a1q2＝10
a4＋a6＝
a1q3+a1q5＝
a1＝8
q＝
S5 ＝ ＝
在等比数列{an}中，
(2) a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
[例1]　
思路二　
S5＝ ＝
(a1＋a3)q3＝a4＋a6
a1＋a3＝10
a4＋a6＝
q3＝
q＝
a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10
a1＝8
在等比数列{an}中，
(3) a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
[例1]　
思路　
q为2或
a2an－1＝a1an＝128
a1＋an＝66
a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根
a1＝2
an＝64
a1＝64
an＝2
或
Sn＝ ＝126
方法总结
1．在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．
2．在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．
跟踪训练
1．已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，且有5S2＝4S4，求公比q的值．
由5S2＝4S4知＝ ，
由5S2＝4S4知10a1＝16a1，则a1＝0，不合题意，故q≠1.
当q＝1时
当q≠1时
解得1＋q2＝ ，即q＝±.
∴5(1－q2)＝4(1－q4)．
题型二　等比数列前n项和公式的实际应用
[例2]　借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，
则a0＝10000，a1＝1.01a0－a，
a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，
…
a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a.
由题意，可知a6＝0，即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝ .
∵1.016≈1.061，∴a≈ ≈1739.
故每月应支付1739元．
[例2]　借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
法一
[例2]　借贷10000元，以月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061，1.015≈1.051)
法二
一方面，借款10000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为
S1＝104(1＋0.01)6＝104×1.016(元)．
另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为
S2＝a(1＋0.01)5＋a(1＋0.01)4＋…＋a
＝ ＝a(1.016－1)×102(元)．
由S1＝S2，得a＝ .
以下解法同法一，得a≈1739，故每月应支付1739元．
(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意项数是多少.
②弄清题目中主要的已知事项.
解数列应用题的具体方法步骤
(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式.
方法总结
2．某人在年初用16万元购买了一套住房，付现金6万元，按合同余款分6年付清，年利率为10%，每年以复利计算，问每年年底应支付多少元？
跟踪训练
余款10万元6年的本利和是105×(1＋0.1)6＝105×1.16.
设每年年底应支付款为a元，支付6次的本利和应是
a＋a(1＋0.1)＋a(1＋0.1)2＋…＋a(1＋0.1)5＝a· ＝10a(1.16－1)．
由105×1.16＝10a(1.16－1)得a＝ ≈22960(元)．
∴每年年底应支付22960元.
题型三　错位相减法求和
1．对于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64
[探究问题]
[提示]　比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S64＝264－1.
2．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示]　由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n.
[探究问题]
3．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示]　在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， ①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1， ②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1.
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．
[探究问题]
[例3]　设是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.
(1)求和的通项公式；
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
设是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.
(1)求和的通项公式；
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0.
an＝2＋2(n-1)＝2n
bn＝2·2n－1＝2n
2q＝2+d
2q2＝6+d
a1＝b1＝2
b2＝a2
b3＝a2＋4
d＝2
q＝
[例3]　
思路　
[例3]　设是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.
(2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
∵cn＝ ＝＝ ，设数列的前n项和为Sn，
∴Sn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ，①
∴ Sn＝ ＋ ＋…＋ ＋，②
∴①－②得： Sn＝(＋ ＋…＋ )－
∴Sn＝2－ － ，
又∵n∈N*，∴ >0， >0，
∴Sn＝2－ －<2，
即c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.
＝ －＝1－ － ，
多维探究
变式1 设是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4. 设cn＝ anbn，求数列{cn}的前n项和Sn′.
由题意知cn＝n·2n，
所以Sn′＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n－2＋(n－1)×2n－1＋n·2n，
2Sn′＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n－1＋(n－1)×2n＋n·2n＋1，
两式相减得：－Sn′＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n－1＋2n－n·2n＋1
＝ －n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以Sn′＝(n－1)·2n＋1＋2.
变式2 设是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4.
设dn＝ ，求数列{dn}的前n项和Tn.
bn＝2n
dn＝ ＝
Tn ＝
Tn ＝
两式相减得
Tn ＝
Tn
若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比q，并向后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这种数列求和的方法称为错位相减法.若公比为字母，则需对其进行分类讨论.
错位相减法的适用条件及注意事项
方法总结
随堂检测
1．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于(　　)
A．93 B．－93 C．45 D．－45
S5＝ ＝
A
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若27a4＋a7＝0，则＝(　　)
A．10 B．9
C．－8 D．－5
设数列{an}的公比为q，
由27a4＋a7＝0，得a4(27＋q3)＝0.
因为a4≠0，∴27＋q3＝0，则q＝－3，
故＝ ＝1＋q2＝1＋9＝10.
A
3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则＋ ＋…＋ 等于(　　)
A．(2n－1)2 B． (2n－1)
C．4n－1 D． (4n－1)
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
n＝1时，a1＝21－1＝21－1，
故an＝2n－1， ＝4n－1.
＋ ＋…＋ ＝ ＝ (4n－1)．
D
4．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则这个数列的前8项之和S8＝________.
a1＋a4＝a1(1＋q3)＝18，a2＋a3＝a1(q＋q2)＝12，
两式联立解得q＝2或，
而q为整数，所以q＝2，a1＝2，
代入公式求得S8＝ ＝510.
510
5．一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%. 这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
用an表示热气球在第n分钟上升的高度，
由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝ ＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
本课小结
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
通过本节课，你学会了什么？