人教版（2019）数学选择性必修二 4_3等比数列 课件（共38张PPT）

(共38张PPT)
等比数列
新课程标准 考向预测 1.通过实例，理解等比数列的概念． 2.探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.体会等比数列与指数函数的关系. 命题角度 1.等比数列的基本运算
2.等比数列的判定与证明
3.等比数列的性质及应用
核心素养 数学运算、逻辑推理
基础梳理
如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的__________等于同一常数(不为0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__________，通常用字母__________表示．
2
比
公比
q
一、等比数列的相关概念、通项公式及前n项和
等比数列的概念
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝__________.
等比数列的通项公式
a1·qn－1
推广：an＝__________(n，m∈N*)．
am·qn－m
等比中项
如果__________(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项．
G2＝a·b
等比数列的前n项和
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn.
当q＝1时，Sn＝__________；
当q≠1时，Sn＝__________＝ .
na1
基础小测
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，若＝ ，则a3＝________.
－
2．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，＝a6，则S5＝________.
二、等比数列的性质
类型 等比数列{an}
项的性质 三项关系：
当m＋n＝2p(m，n，p∈N*)时，am·an＝__________
四项关系：
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝__________
ap·aq
项的性质 两数列关系：
若数列{an}与{bn}均为等比数列，则数列{λan}(λ≠0)，{|an|}，{an·bn}，，仍为__________
下标关系：
等比数列中，下标成等差数列的项，仍成______数列
等比数列
等比
和的性质 Sm＋n＝Sn＋qnSm
若等比数列{an}共2k(k∈N*)项，则＝q
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，__________，…仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，__________，…不一定构成等比数列
S3n－S2n
S3n－S2n
单调性 当或时，{an}是__________数列
当或时，{an}是________数列
当时，{an}为__________数列
当q<0时，{an}为__________数列
递增
递减
常
摆动
其他性质 若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列
当数列{an}是各项都为正数，且公比为q的等比数列时，数列{lg an}是公差为lg q的等差数列
1．(2020届湖北部分重点中学上学期第一次联考)已知{an}为等比数列，若a3＝2，a5＝8，则a7＝(　　)
A．－32 B．32
C．14 D．32或－32
B
基础小测
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则 S6＝(　　)
A．63 B．62
C．61 D．60
A
考点突破
[例1] (2019全国卷Ⅲ，5)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16 B．8 C．4 D．2
C
考点一　等比数列的基本量计算(高考热度：★★★)
等比数列基本量运算的解题策略
①等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
②等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；
当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝ ＝ .
解题策略
40
1．(2020届河南南阳第一中学高三上学期第二次开学考试)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1a3＝9，a4＝27，则S4＝________.
考点微练
B
已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和．若a1a7＝4，且a4＋2a7＝ ，则S5＝(　　)
A．32 B．31 C．30 D．29
对点变式
考点二　等比数列的判定和证明(高考热度：★★)
[例2] (2019全国卷Ⅱ，19)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
等比数列的判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项 公式法 若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列
通项 公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和 公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列
方法总结
前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
关键提醒
考点微练
1．(2020届山西大同高三开学学情调研测试)在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋n－2(n≥2，且n∈N*)．
(1)求a2和a3的值；
(2)证明：数列{an＋n}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(3)求数列{an}的前n项和Sn.
2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)证明数列{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)求证： ＋ ＋…＋ ＞ .
考点三　等比数列的性质(高考热度：★★★)
[例3] 设等比数列{an}的前n项和为Sn. 已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　)
A． B．－ C． D．
A
在等比数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a13＋a14＋a15＋a16的值是(　　)
A．8 B．15 C．18 D．20
A
对点变式
[例4] (2020届四川资阳上学期一诊)若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7，S6＝63，则S9＝________．
511
1．在解答等比数列的有关问题时，为简化解题过程，常利用等比数列的如下性质：
(1)通项公式的推广：an＝amqn－m；
(2)等比中项的推广与变形： ＝am·an(m＋n＝2p)及ak·al＝am·an(k＋l＝m＋n)．
归纳点拨
归纳点拨
2．对已知条件为等比数列的前几项和，求其前多少项和的问题，应用公比不为－1的等比数列前n项和的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列比较简便．
1．(多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0，则下列结论正确的是(　　)
A．01
C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7
AD
考点微练
C
2．等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和 S偶＝－126，末项是192，则a1＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[例5] 已知数列{an}为等比数列，首项a1＝2，数列{bn}满足bn＝log2an，且b2＋b3＋b4＝9，则a5＝(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
C
考点四　数列的综合(高考热度：★★★)
考向1　等差、等比数列的综合
1．(2020届吉林长春上学期高三数学试题)已知数列{an}为等比数列，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且a2＝1，a10＝16，a6＝b6，则S11＝(　　)
A．44 B．－44 C．88 D．－88
A
考点微练
考向2　数列与函数的综合
[例6] 已知函数f(x)＝logkx(k为常数，k>0且k≠1)，且数列{f(an)}是首项为4，公差为2的等差数列．
(1)求证：数列{an}是等比数列．
(2)若bn＝an·f(an)，当k＝时，求数列{bn}的前n项和Sn.
(3)若cn＝anlg an，问是否存在实数k，使得{cn}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；
数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．
数列与函数的综合一般体现在两个方面
方法总结
设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}为等比数列．
考点微练
(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{an}的前n项和Sn.
解析过程见配套学案
通过本节课，你学会了什么？