人教版（2019）数学选择性必修二 4_4数学归纳法 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
数学归纳法(2)
高二选择性必修二
本节目标
1.明确数学归纳法的适用范围，会正确地使用数学归纳法.
2.通过3类典型的数学问题的证明，掌握用数学归纳法证明命题的一般过程，巩固对数学归纳法的认识.
3.体会数学归纳法的特殊性，认识到数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，感受数学归纳法的力量与魅力.
复习导入
两个步骤 缺一不可
归纳奠基
归纳递推
证明一个与正整数n(n≥n0, n∈N*)有关的命题
(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成；
(2)假设当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
对所有正整数n (n≥n0, n∈N*)，命题都成立
复习导入
问题1 什么时候需要应用数学归纳法？
？
数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题
证明对任意的正整数n，等式恒成立.
不必应用数学归纳法
证明的单调性.
难以应用数学归纳法
典例剖析
[例1] 证明： .
①
(1)当n=1时，
①式的左边
右边
所以①式成立.
假设当n=k(k∈N*)时，①式成立，
即
所以当n=k+1时，有
所以当n=k+1时也成立，
所以，①式对任何n∈N*都成立.
？
典例剖析
[例1] 证明： .
①
(2)假设当n=k(k∈N*)时，①式成立，
目标
在上式两边同时加上 ，有
典例剖析
[例1] 证明： .
①
(2)假设当n=k(k∈N*)时，①式成立，
在上式两边同时加上 ，有
=
典例剖析
[例1] 证明： .
①
(2)假设当n=k(k∈N*)时，①式成立，
在上式两边同时加上 ，有
即当n=k+1时， ①式也成立
由(1)(2)可知， ①式对任何都成立.
第二步要证明命题“若(k∈N*, k≥ n0)为真，则也为真.”
方法归纳
问题2 怎样正确地使用数学归纳法？
不能缺少第一步的验证；
用上假设，递推才真
？
[例2] 已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
由，可得
由可得
同理可得
归纳上述结果，猜想
[例2] 已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
下面用数学归纳法证明这个猜想
②
(1)当n=1时，
②式左边，
右边 ,
猜想成立.
②式成立，即
(2)假设当n=k 时，
[例2] 已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
典例剖析
下面用数学归纳法证明这个猜想
②
(1)当n=1时，
②式左边，
右边 ,
猜想成立.
②式成立，即
(2)假设当n=k 时，
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
由(1)(2)可知， 猜想对任何都成立.
追问：把例2中的“”换成“”，其他条件不变，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
体会初始值的改变对其通项公式繁简程度的影响
典例剖析
？
[例3] 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x )2，…，(1+x )n-1 ，… 的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
典例剖析
由已知可得
当n=2时，
由x＞0，可得
当n=3时，
由x＞0，可得
由此，我们猜想，
Sn =1+(1+x)+(1+x )2+…+(1+x )n-1
S2 =1+(1+x)=2+x，
S2>2
S3 =1+(1+x) +(1+x )2 =3+3x+x2 ，
S2>3
Sn>n.
[例3] 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x )2，…，(1+x )n-1 ，… 的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
典例剖析
由已知可得
当n=2时，
由x＞0，可得
当n=3时，
由x＞0，可得
由此，我们猜想，
Sn =1+(1+x)+(1+x )2+…+(1+x )n-1
S2 =1+(1+x)=2+x，
S2>2
S3 =1+(1+x) +(1+x )2 =3+3x+x2 ，
S2>3
Sn>n.
当x∈R*，n∈N*且n>1时，
Sn>n.
当x∈R*，n∈N*且n>1时，
用数学归纳法证明
(1)当n=2时，
由上述过程知，不等式成立.
(2)假设当n=k时，不等式成立.
[例3] 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x )2，…，(1+x )n-1 ，… 的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
典例剖析
(2)假设当n=k (k∈N*且k≥2) 时，不等式成立，
即Sk >k ，
当n=k+1时，不等式也成立.
由x＞0，可得1+x＞1，
所以(1+x)k＞1.
于是Sk+1 = Sk +(1+x)k
(1)当n=2时，
由上述过程知，不等式成立.
Sn>n.
当x∈R*，n∈N*且n>1时，
用数学归纳法证明
>k +(1+x)k
Sk+1 >k+1
[例3] 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，(1+x )2，…，(1+x )n-1 ，… 的前n项和为Sn，试比较Sn与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
典例剖析
由(1)(2)可知， 不等式Sn>n对任何大于1的正整数n都成立.
怎样正确地应用数学归纳法？
问题3 通过本节课，你有哪些收获？
什么时候需要应用数学归纳法？
本课小结
？