人教版（2019）数学选择性必修二 4_4数学归纳法(1) 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
数学归纳法(1)
高二选择性必修二
本节目标
1.了解数学归纳法的原理和步骤，会用数学归纳法证明关于正整数n的数学命题.
2.借助具体实例，通过对证明一个数学命题的过程和多米诺骨牌全部倒下的过程的类比和分析，获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的原理和步骤.
3.感受类比的数学思想方法，提升数学抽象素养.
问题导入
数学归纳法
等差数列的通项公式：
问题1 如何证明与正整数n有关的数学命题？
？
问题导入
问题2 已知数列满足， ，计算，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
？
令n=1，有
令n=2，有
令n=3，有
猜想：
=1
=1
=1
类比迁移
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
？
类比迁移
问题3 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
？
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
追问(1)：条件(1)的作用是什么？
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2) 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
类比迁移
？
追问(2)：条件(2)的作用是什么？
使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
(1)第一块骨牌倒下；
(2) 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
提供了基础
类比迁移
？
递推关系：
第k块骨牌倒下
第k+1块骨牌倒下
由及递推关系
追问(3)：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
……
递推关系：
如果n=k时猜想成立，
那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
即
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
类比迁移
？
由及递推关系
追问(3)：证明猜想“数列的通项公式是 ”与多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
类比迁移
？
骨牌原理 猜想的证明步骤
(1)第一块骨牌已经倒下 (1)证明n=1时，猜想正确
(2)证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”这句话是真实的 (2)证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题
根据(1) (2)，所有骨牌都能倒下 根据(1) (2)，这个猜想对一切正整数n都成立
学习新知
问题4 什么是数学归纳法？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
？
(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)以“当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
追问(1)：数学归纳法中的两个步骤都必要吗？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)以“当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)以“当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)以“当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
记是一个关于正整数n的命题.
(1)
(2)以“当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”.
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
记是一个关于正整数n的命题.
为真；
(1)
(2)
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
记是一个关于正整数n的命题.
为真；
若(k∈N*, k≥ n0)为真，则也为真.
(1)
(2)
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
记是一个关于正整数n的命题.
为真；
若(k∈N*, k≥ n0)为真，则也为真.
条件：
真，
真
真，
真 .
……
……
(1)
(2)
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
记是一个关于正整数n的命题.
为真；
若(k∈N*, k≥ n0)为真，则也为真.
条件：
为真
结论：
(1)
(2)
追问(2)：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
归纳奠基
归纳递推
学习新知
？
记是一个关于正整数n的命题.
为真；
条件：
为真
结论：
学习新知
追问(3)：如何理解的意义？
？
若(k∈N*, k≥ n0)为真，
则也为真.
典例巩固
[例1] 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①对任何都成立.
当n=1时，左边，
右边，
①式成立.
根据等差数列的定义，有，
(1)
(2)
于是
即当n=k+1时，①式也成立.
假设当n=k()时，①式成立，即
由(1)(2)可知，①式对任何都成立.
课堂小结
两个步骤 缺一不可
数学归纳法是怎样的一种方法？
归纳奠基
归纳递推
？
证明一个与正整数n(n≥n0, n∈N*)有关的命题
(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成；
(2)假设当n=k(k∈N*, k≥ n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
对所有正整数n (n≥n0, n∈N*)，命题都成立
通过本节课，你学会了什么？