人教版（2019）数学选择性必修二 5_1_1变化率问题 课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
变化率问题
高二选择性必修二
本节目标
1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.
2.会求函数在某一点附近的平均变化率．
3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念．
课前预习
(1)平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？
(2)瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？
(3)如何用定义求函数在某一点处的导数？
预习课本P59～63，思考并完成以下问题
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (　　)
(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　)
(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (　　)
(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成k＝ ． (　　)
×
√
√
√
2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为(　　)
A．f (x0＋Δx) B．f (x0)＋Δx
C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0)
D
3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是(　　)
A．4 B．4.1
C．0.41 D．－1.1
B
4．一辆汽车运动的速度为v(t)＝t2－2，则该汽车在t＝3时的加速度为________．
当Δt→0时， →6，即汽车在t＝3时加速度为6.
6
5．火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)＝0.9t2.那么t＝________ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s.
当Δt→0时→1.8t0.
即t＝t0时的瞬时速度为1.8t0，
由1.8t0＝3.6得t0＝2.
2
新知探究
1．平均变化率
(1)自变量的改变量：Δx＝_________.
(2)函数值的改变量：Δy＝____________．
(3)平均变化率＝__________＝______________.
x2－x1
f (x2)－f (x1)
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
思考：Δx，Δy以及平均变化率一定为正值吗？
提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为零，平均变化率可正可负可为零．
2．瞬时速度与瞬时变化率
(1)物体在_________的速度称为瞬时速度．
(2)函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即
＝_________________.
某一时刻
3．曲线的切线斜率
设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝ 为割线P0P的_________．
当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率______________就是y＝f (x)在x0处的_______的斜率,即k＝________________.
斜率
切线
思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？
提示：不是．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x＝x0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
[例1]　(1)如图，函数y＝f (x)在[1，5]上的平均变化率为(　　)
题型一　求平均变化率
A． B．－ C．2 D．－2
B
(2)函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为___________．
[例1]　
Δy＝－2(1＋Δx)2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx(2＋Δx)，
所以平均变化率为＝ ＝－4－2Δx.
－4－2Δx
第一步，求自变量的改变量Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的改变量Δy＝f (x2)－f (x1)；
第三步，求平均变化率＝ .
1．求函数平均变化率的三个步骤
方法总结
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
2．求平均变化率的一个关注点
跟踪训练
1．函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　)
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系不确定
1．函数y＝x2从x0到x0＋Δx(Δx＞0)的平均变化率为k1，从x0－Δx到x0的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是(　　)
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．k1与k2的大小关系不确定
∵函数y＝f (x)＝x2从x0到x0＋Δx的改变量为
Δy1＝f (x0＋Δx)－f (x0)＝(x0＋Δx)2－＝Δx(2x0＋Δx)，
∴k1＝＝2x0＋Δx.
∵函数y＝f (x)＝x2从x0－Δx到x0的改变量为
Δy2＝f (x0)－f (x0－Δx)＝ －(x0－Δx)2＝Δx(2x0－Δx)，
∴k2＝ ＝2x0－Δx.
∵k1－k2＝2Δx，而Δx＞0，∴k1＞k2.
A
题型二　求瞬时速度
[探究问题]
1．物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，如何计算物体在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度？
[提示]　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，
＝10＋5Δt.
2．当Δt趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
[提示]　当Δt趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
[探究问题]
[例2]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
思路探究
计算物体在[1,1+Δt]内的平均速度
令
计算
得t＝1 s时的瞬时速度
[例2]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
∵ ＝ ＝ ＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
多维探究
变式1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度．
求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵ ＝ ＝ ＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
变式2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s．
设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝ ＝(2t0＋1)＋Δt.
＝ (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：
(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)).
(2)求平均速度：.
(3)求瞬时速度v：当Δt→0时， →v(常数).
求运动物体瞬时速度的三个步骤
方法总结
题型三　求函数在某点的切线斜率及方程
[例3]　(1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．
(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
[例3]　(1)已知函数y＝x－，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．
∵Δy＝(1＋Δx)－ －(1－)＝Δx＋1－ ＝Δx＋ ，
∴ ＝ ＝1＋ ，
∴斜率k＝＝ (1+ ) ＝1＋1＝2.
2
[例3] (2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．
点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为k＝
＝
＝
＝ (Δx＋2)
＝2.
故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.
求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤
方法总结
跟踪训练
2．求函数y＝ 在x＝2处的切线方程．
∵Δy＝ － ＝ －1＝－ ，
∴ ＝－，
∴k＝ ＝ ＝ ＝－1.
又x＝2时y＝ ＝1.
∴切线方程为y－1＝－1×(x－2)，即x＋y－3＝0.
随堂检测
1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是(　　)
A．0.4 B．2
C．0.3 D．0.2
B
2．物体自由落体的运动方程为s(t)＝ gt2，g＝9.8 m/s2，若v＝＝9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(　　)
A．9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．9.8 m/s是物体在t＝1 s这一时刻的速率
D．9.8 m/s是物体从1 s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
C
3．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f (1＋Δx))，则等于________．
Δy＝f (1＋Δx)－f (1)
＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)
＝4Δx＋2(Δx)2，
∴ ＝2Δx＋4.
2Δx＋4
4．设函数f (x)在x＝1处切线斜率为2，则＝________.
根据条件知k＝＝2，
∴ ＝ ＝ .
5．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
(1)因为f (x)＝3x2＋5，
所以从0.1到0.2的平均变化率为＝0.9.
5．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：
(1)从0.1到0.2的平均变化率；
(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
(2) f (x0＋Δx)－f (x0)
＝3(x0＋Δx)2＋5－(3＋5)
＝3＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3－5
＝6x0Δx＋3(Δx)2.
函数f (x)在区间[x0, x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx.
1．函数y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：k＝＝ ＝ .
2．瞬时速度与平均速度的区别和联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．
本课小结
通过本节课，你学会了什么？