人教版（2019）数学选择性必修二 5_2导数的运算(2) 课件（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）数学选择性必修二 5_2导数的运算(2) 课件（共37张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 977.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-11 08:09:04 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
导数的运算(2)
高二选择性必修二
本节目标
1．了解复合函数的概念．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
课前预习
(1) 复合函数的定义是什么？
(2) 复合函数的求导法则是什么？
预习课本P78～81，思考并完成以下问题
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx．( )
(2) f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝ ． ( )
(3) f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．( )
√
×
×
f ′(x)＝
f ′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x
2．函数y＝ 的导数是( )
A． B．
C．－ D．－
y′＝
C
3．下列对函数的求导正确的是( )
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos ，则y′＝ sin
D．y＝22x－1，则y′＝22xln 2
y′＝－6(1－2x)2
×
y′＝
×
y′＝－sin
×
√
D
新知探究
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作____________．
y＝f (g(x))
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
提示：函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于______________________________．
y′u·u′x
y对u的导数与u对x的导数的乘积
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 复合函数的导数
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝e2x＋1； (2)y＝ ；
(3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝ .
[例1] 求下列函数的导数：
(2)y＝ ；
函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
y′x＝y′u·ux′
＝(eu)′(2x＋1)′
＝2eu
＝2e2x＋1.
函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
y′x＝y′u·ux′
＝(u－3)′(2x－1)′
＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4
＝－ .
(1)y＝e2x＋1；
[例1] 求下列函数的导数：
(3) y＝5log2(1－x)；
(4) y＝ .
函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
y′x＝y′u·u′x
＝(5log2u)′·(1－x)′
＝
＝ .
(ln 3x)′＝×(3x)′＝ .
y′＝
＝
＝ .
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
解答此类问题常犯两个错误
易错提醒
复合函数求导的步骤
分解
求导
回代
选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y=f(u), u=g(x)
分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求y′u，再求u′x.
计算y′u·u′x，并把中间变量转化为自变量的函数.
方法总结
跟踪训练
1．求下列函数的导数：
(1) y＝103x－2；
(2) y＝ln(ex＋x2)；
令u＝3x－2，则y＝10u.
y′x＝y′u·u′x
＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
y′x＝y′u·u′x
＝ ·(ex＋x2)′
＝ .
跟踪训练
1．求下列函数的导数：
(3) y＝x.
y′＝(x)′
＝ ＋x()′
＝ ＋
＝ .
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝cos ； (2)y＝x2＋tan x.
题型二 三角函数型函数的导数
∵y＝cos＝cos sin －cos2
＝ sin x－ (1＋cos x)
＝ (sin x－cos x)－ ，
∴y′＝[(sin x－cos x)－ ]′
＝ (sin x－cos x)′
＝ (cos x＋sin x)．
∵y＝x2＋ ，
∴y′＝(x2)′＋()′
＝2x＋
＝2x＋ .
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.
复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.
三角函数型函数的求导要求
方法总结
跟踪训练
′
y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
2．求下列函数的导数：
(1) y＝sin2 ； (2) y＝sin3x＋sin x3；
跟踪训练
2．求下列函数的导数：
(3) y＝cos4x－sin4x.
y＝cos4x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)
＝cos 2x，
∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
[提示]
设P(x0，y0)，由题意可知＝ ，
所以＝1，即x0＝0，
∴点P(0，1)．
由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
题型三 导数运算法则的综合应用
[探究问题]
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
2．曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，你能求出a，b的值吗？
[提示]
∵y′＝aex＋ln x＋1，
∴y′|x＝1＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，
∴a＝e－1.
∴切点为(1，1)，
将(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1，故a＝，b＝－1.
[探究问题]
[例3] (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴＝ ＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
A
[例3] (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.
因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f ′(0)＝ae0＝a，
故a＝2.
2
多维探究
变式1 曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2，求m的值.
由题意可知，设切点P(x0，y0)，
则＝＝2，
∴x0＝1，即切点P(1，0)，
∴ ＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
变式2 若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线，求b的值．
函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝ .
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，
也可以写成y＝ (x－n)＋ln(n＋1)．
整理后对比得
解得
因此b＝1－ln 2.
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
利用导数的几何意义解题时的注意点
要点提醒
随堂检测
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
A
2．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
B
3．已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.
f ′(x)＝ ×(3x－1)′＝ ，
f ′(1)＝ ＝ .
4．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．
∵f (x)＝xe－x，
∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，
∴f ′(2)＝－.
根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝－ .
－
y′＝e2x·(2x)′
＝e2x·2
＝2e2x.
y′＝3(1－3x)2(1－3x)′
＝－9(1－3x)2
或y′＝－81x2＋54x－9.
5．求下列函数的导数：
(1)y＝e2x； (2)y＝(1－3x)3.
本课小结
1．求复合函数的导数的注意点
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；
③计算结果尽量简洁．
2．和与差的运算法则可以推广
[f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)．
通过本节课，你学会了什么？
导数的运算(2)
高二选择性必修二
本节目标
1．了解复合函数的概念．
2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．
课前预习
(1) 复合函数的定义是什么？
(2) 复合函数的求导法则是什么？
预习课本P78～81，思考并完成以下问题
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx．( )
(2) f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝ ． ( )
(3) f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x．( )
√
×
×
f ′(x)＝
f ′(x)＝2xcos2x－2x2sin2x
2．函数y＝ 的导数是( )
A． B．
C．－ D．－
y′＝
C
3．下列对函数的求导正确的是( )
A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2
B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝
C．y＝cos ，则y′＝ sin
D．y＝22x－1，则y′＝22xln 2
y′＝－6(1－2x)2
×
y′＝
×
y′＝－sin
×
√
D
新知探究
1．复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作____________．
y＝f (g(x))
思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？
提示：函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝________，即y对x的导数等于______________________________．
y′u·u′x
y对u的导数与u对x的导数的乘积
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 复合函数的导数
[例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝e2x＋1； (2)y＝ ；
(3)y＝5log2(1－x)； (4)y＝ .
[例1] 求下列函数的导数：
(2)y＝ ；
函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，
y′x＝y′u·ux′
＝(eu)′(2x＋1)′
＝2eu
＝2e2x＋1.
函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，
y′x＝y′u·ux′
＝(u－3)′(2x－1)′
＝－6u－4
＝－6(2x－1)－4
＝－ .
(1)y＝e2x＋1；
[例1] 求下列函数的导数：
(3) y＝5log2(1－x)；
(4) y＝ .
函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，
y′x＝y′u·u′x
＝(5log2u)′·(1－x)′
＝
＝ .
(ln 3x)′＝×(3x)′＝ .
y′＝
＝
＝ .
(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；
(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．
解答此类问题常犯两个错误
易错提醒
复合函数求导的步骤
分解
求导
回代
选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系y=f(u), u=g(x)
分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求y′u，再求u′x.
计算y′u·u′x，并把中间变量转化为自变量的函数.
方法总结
跟踪训练
1．求下列函数的导数：
(1) y＝103x－2；
(2) y＝ln(ex＋x2)；
令u＝3x－2，则y＝10u.
y′x＝y′u·u′x
＝10uln 10·(3x－2)′
＝3×103x－2ln 10.
令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
y′x＝y′u·u′x
＝ ·(ex＋x2)′
＝ .
跟踪训练
1．求下列函数的导数：
(3) y＝x.
y′＝(x)′
＝ ＋x()′
＝ ＋
＝ .
[例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝cos ； (2)y＝x2＋tan x.
题型二 三角函数型函数的导数
∵y＝cos＝cos sin －cos2
＝ sin x－ (1＋cos x)
＝ (sin x－cos x)－ ，
∴y′＝[(sin x－cos x)－ ]′
＝ (sin x－cos x)′
＝ (cos x＋sin x)．
∵y＝x2＋ ，
∴y′＝(x2)′＋()′
＝2x＋
＝2x＋ .
对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导.
复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导.
三角函数型函数的求导要求
方法总结
跟踪训练
′
y′＝(sin3x＋sin x3)′
＝(sin3x)′＋(sin x3)′
＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2
＝3sin2xcos x＋3x2cos x3.
2．求下列函数的导数：
(1) y＝sin2 ； (2) y＝sin3x＋sin x3；
跟踪训练
2．求下列函数的导数：
(3) y＝cos4x－sin4x.
y＝cos4x－sin4x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)
＝cos 2x，
∴y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x.
[提示]
设P(x0，y0)，由题意可知＝ ，
所以＝1，即x0＝0，
∴点P(0，1)．
由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.
题型三 导数运算法则的综合应用
[探究问题]
1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？
2．曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，你能求出a，b的值吗？
[提示]
∵y′＝aex＋ln x＋1，
∴y′|x＝1＝ae＋1，
∴2＝ae＋1，
∴a＝e－1.
∴切点为(1，1)，
将(1，1)代入y＝2x＋b，得1＝2＋b，
∴b＝－1，故a＝，b＝－1.
[探究问题]
[例3] (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是( )
A． B．2
C．3 D．0
设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．
∵y′＝，∴＝ ＝2，解得x0＝1，
∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0)．
∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝ ＝，
即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.
A
[例3] (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
令y＝f (x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.
因为f (x)＝eax，所以f ′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，
所以f ′(0)＝ae0＝a，
故a＝2.
2
多维探究
变式1 曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2，求m的值.
由题意可知，设切点P(x0，y0)，
则＝＝2，
∴x0＝1，即切点P(1，0)，
∴ ＝2，解得m＝8或－12.
即实数m的值为8或－12.
变式2 若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln(x＋1)的切线，求b的值．
函数y＝ln x＋2的导函数为y′＝，函数y＝ln(x＋1)的导函数为y′＝ .
设曲线y＝ln x＋2和曲线y＝ln(x＋1)上的切点横坐标分别为m，n，
则该直线方程可以写成y＝·(x－m)＋ln m＋2，
也可以写成y＝ (x－n)＋ln(n＋1)．
整理后对比得
解得
因此b＝1－ln 2.
(1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出.
(2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组.
(3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件.
(4)与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.
利用导数的几何意义解题时的注意点
要点提醒
随堂检测
1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )
A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
A
2．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
B
3．已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.
f ′(x)＝ ×(3x－1)′＝ ，
f ′(1)＝ ＝ .
4．已知f (x)＝xe－x，则f (x)在x＝2处的切线斜率是________．
∵f (x)＝xe－x，
∴f ′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，
∴f ′(2)＝－.
根据导数的几何意义知f (x)在x＝2处的切线斜率为k＝f ′(2)＝－ .
－
y′＝e2x·(2x)′
＝e2x·2
＝2e2x.
y′＝3(1－3x)2(1－3x)′
＝－9(1－3x)2
或y′＝－81x2＋54x－9.
5．求下列函数的导数：
(1)y＝e2x； (2)y＝(1－3x)3.
本课小结
1．求复合函数的导数的注意点
①分解的函数通常为基本初等函数；
②求导时分清是对哪个变量求导；
③计算结果尽量简洁．
2．和与差的运算法则可以推广
[f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)．
通过本节课，你学会了什么？