人教版（2019）数学选择性必修二 5.3.2函数的极值与最大(小)值(1) 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
函数的极值与最大(小)值 (1)
高二选择性必修二
本节目标
1. 了解极大值、极小值的概念．
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
3．会用导数求函数的极大值、极小值．
课前预习
(1) 函数极值点、极值的定义是什么？
(2) 函数取得极值的必要条件是什么？
(3) 求可导函数极值的步骤有哪些？
预习课本P89～92，思考并完成以下问题
课前小测
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 极大值一定比极小值大． (　　)
(2) 每一个函数都至少有一个极大值或极小值． (　　)
(3) 若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点 ．(　　)
(4) 单调函数不存在极值． (　　)
×
×
只有导函数的变号零点才是极值点
×
√
2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．
x1
x2
x3
x4
C
3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(　　)
A．y＝x3 B．y＝x2＋1
C．y＝|x| D．y＝2x
对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；
对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；
对于C，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；
对于D，y＝2x单调递增，无极值．
B
C
4．函数f (x)＝x＋2cos x在上的极大值点为(　　)
A．0 B． C． D．
f ′(x)＝1－2sin x．
令f ′(x)＝0，∵x∈，∴x＝ ，
x∈(, )时f ′(x)＜0，x∈ (, )时，f ′(x)＞0.
∴x＝ 是f (x)在上的极大值点．
B
新知探究
1．极值点与极值
极小值点与极小值
若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝_____，而且在点x＝a附近的左侧_________，右侧_________，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，_______叫做函数y＝f (x)的极小值．
0
f ′(x)＜0
f ′(x)＞0
f (a)
1．极值点与极值
极大值点与极大值
若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝_____，而且在点x＝b附近的左侧__________，右侧__________，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，______叫做函数y＝f (x)的极大值．
0
f ′(x)＞0
f ′(x)＜0
f (b)
极大值点、极小值点统称为________；极大值、极小值统称为________．
极值点
极值
思考：导数为0的点一定是极值点吗？
提示：不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0， 但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．
2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法
(2) 如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是__________．
解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：
(1) 如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是__________；
极大值
极小值
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　不含参数的函数求极值
[例1]　求下列函数的极值：
(1) y＝x3－3x2－9x＋5；
(2) y＝x3(x－5)2.
[例1]　求下列函数的极值：
(1) y＝x3－3x2－9x＋5；
∵y′＝3x2－6x－9，
令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；
当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.
[例1]　求下列函数的极值：
(2) y＝x3(x－5)2.
y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．
令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，
解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.
当x变化时，y′与y的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)
y′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋
y ↗ 无极值 ↗ 极大值108 ↘ 极小值0 ↗
∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；
x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，
可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
(4)由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；
如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.
方法总结
求函数y＝f(x)的极值的步骤
跟踪训练
1．求函数f (x)＝3x3－3x＋1的极值．
f ′(x)＝9x2－3，令f ′(x)＝0，得x1＝－，x2＝.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞, ) － (, ) (, ∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
x1＝－为函数f (x)＝3x3－3x＋1的极大值点，极大值为f ()＝1＋ ；
x2＝ 为函数f (x)＝3x3－3x＋1的极小值点，极小值为f () ＝1－ .
题型二　含参数的函数求极值
[例2]　已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
思路探究
求导
解f ′(x)=0
比较极值点大小
进行讨论求极值
[例2]　已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
f ′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
①当a＞0时，＜，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞, ) (, ) (, ∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ()＝；
当x＝时，函数f (x)取得极小值，为f ()＝0.
[例2]　已知函数f (x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f (x)的极值．
②当a＜0时，＜ ，则随着x的变化，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x (－∞, ) (, ) (, ∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x＝时，函数f (x)取得极大值，为f ()＝0；
当x＝ 时，函数f (x)取得极小值，为f ()＝.
综上，当a＞0时，函数f (x)在x＝处取得极大值，在x＝ 处取得极小值0；
当a＜0时，函数f (x)在x＝处取得极大值0，在x＝ 处取得极小值.
求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：
一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；
二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.
函数极值的注意点
要点提醒
求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：
一是看参数是否对f ′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；
二是看f ′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
函数极值的注意点
要点提醒
跟踪训练
2．若函数f (x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f (x)的极值．
函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1－＝ .
(1)当a≤0时，f ′(x)＞0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x)无极值．
(2)当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝a.
当0＜x＜a时，f ′(x)＜0；当x＞a时，f ′(x)＞0.
∴f (x)在x＝a处取得极小值，且f (a)＝a－aln a，无极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)无极值；
当a＞0时，函数f (x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
题型三　由极值求参数的值或取值范围
[例3]　(1)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　)
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
[例3]　(1)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(　　)
A．4或－3 B．4或－11
C．4 D．－3
∵f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋b.
解得 ，或
由题意得
即
当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故函数f (x)单调递增，无极值，不符合题意．∴a＝4.
C
[例3]　(2)若函数f (x)＝x2＋(a－1)x－aln x没有极值，则(　　)
A．a＝－1 B．a≥0
C．a＜－1 D．－1＜a＜0
f ′(x)＝(x－1)()，x＞0，
当a≥0时，＋1＞0，令f ′(x)＜0，得0＜x＜1；
令f ′(x)＞0，得x＞1. f (x)在x＝1处取极小值．
当a＜0时，方程＋1＝0必有一个正数解x＝－a，
①若a＝－1，此正数解为x＝1，
此时f ′(x)＝ ≥0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值．
②若a≠－1，此正数解为x≠1，
f ′(x)＝0必有2个不同的正数解，f (x)存在2个极值．
综上，a＝－1.
A
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.
(1)已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤
①求函数的导数f ′(x)；
②由极值点的导数值为0，列出方程(组)，求解参数.
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件.
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.
已知函数极值求参数的方法
方法总结
跟踪训练
3．若x＝2是函数f (x)＝x(x－m)2的极大值点，求函数f (x)的极大值．
∵f ′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f ′(2)＝0，∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.
(1)当m＝2时，f ′(x)＝(x－2)(3x－2)，
由f ′(x)＞0得x＜或x＞2；由f ′(x)＜0得＜x＜2.
∴x＝2是f (x)的极小值点，不合题意，故m＝2舍去．
(2)当m＝6时，f ′(x)＝(x－6)(3x－6)，
由f ′(x)＞0得x＜2或x＞6；由f ′(x)＜0得2＜x＜6.
∴x＝2是f (x)的极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32.
即函数f (x)的极大值为32.
题型四　极值问题的综合应用
1．如何画出函数f (x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象．
[探究问题]
[提示]　f ′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2)．
由f ′(x)＞0得x＜－2或x＞3，
∴函数f (x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)．
由f ′(x)＜0得－2＜x＜3，
∴函数f (x)的递减区间是(－2，3)．
由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.
∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x)大致图象如图所示．
题型四　极值问题的综合应用
[探究问题]
2．当a变化时，方程2x3－3x2－36x ＋16＝a有几解？
[提示]　
方程2x3－3x2－36x＋16＝a解的个数问题可转化为函数y＝a与y＝2x3－3x2－36x＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：
(1)当a＞60或a＜－65时， 方程2x3－3x2－36x＋16＝a有且只有一解；
(2)当a＝60或a＝－65时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有两解；
(3)当－65＜a＜60时，方程2x3－3x2－36x＋16＝a有三解．
[例4]　已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．
令f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f ′(x)>0；当－11时，f ′(x)>0.
所以当x＝－1时，f (x)有极大值f (－1)＝2＋a；
当x＝1时，f (x)有极小值f (1)＝－2＋a.
因为方程f (x)＝0有三个不同实根，
所以y＝f (x)的图象与x轴有三个交点，如图．
由已知应有
解得－2多维探究
变式1 已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0恰有两个根，求实数a的值．
由例题知，
函数的极大值f (－1)＝2＋a，极小值f (1)＝－2＋a，
若f (x)＝0恰有两个根，
则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，
所以a＝－2或a＝2.
变式2 已知函数f (x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f (x)＝0有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
由例题可知，
要使方程f (x)＝0有且只有一个实根，
只需2＋a＜0或－2＋a＞0，
即a＜－2或a＞2.
变式3 讨论方程＝a的根的情况．
令f (x)＝ ，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ .
令f ′(x)＝0，得x＝e.
当x变化时，f ′(x)与f (x)的变化情况如下表：
x (0，e) e (e，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ↗ ↘
因此，x＝e是函数f (x)的极大值点，极大值为f (e)＝，函数f (x)没有极小值点．其图象如图．
∴当0＜a＜时，＝a有两个不同的根；当a＝或a≤0时，＝a只有一个根；当a＞时， ＝a没有实数根．
(1)利用导数可以判断函数的单调性；
(2)研究函数的极值情况；
(3)在上述研究的基础上画出函数的大致图象；
(4)直观上判断函数的图象与x轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.
利用导数求函数零点的个数
方法总结
随堂检测
1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)
A．在(1，2)上函数f (x)为增函数
B．在(3，4)上函数f (x)为减函数
C．在(1，3)上函数f (x)有极大值
D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点
D
2．设函数f (x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.
当x＜－1时，f ′(x)＜0；
当x＞－1时，f ′(x)＞0.
故当x＝－1时，f (x)取得极小值．
D
3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是____________________．
f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，
∵函数f (x)既有极大值又有极小值，
∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，
即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.
(－∞,－1)∪(2,＋∞)
4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为________．
f ′(x)＝ ，故f ′(e)＝ － ，解得f ′(e)＝，
所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝ －.
由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e.
所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，
故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.
2ln 2
1．若函数y＝f (x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f (x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
2．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．
本课小结
本课小结
3．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：
(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．
通过本节课，你学会了什么？