人教版（2019）数学选择性必修二 5.3.1导数的综合应用 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
导数的综合应用
考点突破
考点一　利用导数证明不等式(高考热度：★★★)
[例1] (2019北京卷，19)已知函数f(x)＝x3－x2＋x.
(1)求曲线y＝f(x)的斜率为1的切线方程．
(2)当x∈[－2，4]时，求证：x－6≤f(x)≤x.
(3)设F(x)＝|f(x)－(x＋a)|(a∈R)，记F(x)在区间[－2，4]上的最大值为M(a)．当M(a)最小时，求a的值．
证明不等式通常需要构造函数，利用函数的最值、单调性证明．
(1)证明不等式f(x)(2)在证明含有两个变量a，b的不等式时，一种方法是通过变形构造不等式f(a)>f(b)，然后利用函数f(x)的单调性证明，另一种方法是通过换元构造成单变量不等式．
方法总结
考点微练
1．已知曲线f(x)＝在点(－1，f(－1))处的切线方程为x＋y＋3＝0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝ln x，求证：g(x)≥f(x)在[1，＋∞)上恒成立．
2．(2020届山东模拟)函数f(x)＝(x>0)，曲线y＝f(x)在点(1，f(x))处的切线在y轴上的截距为.
(1)求a；
(2)讨论g(x)＝x(f(x))2的单调性；
(3)设a1＝1，an＋1＝f(an)，证明：2n－2|2ln an－ln 7|<1.
考点二　利用导数解决恒成立问题(高考热度：★★★)
[例2] 已知函数f(x)＝.
(1)若函数f(x)在上存在极值，求正实数a的取值范围；
(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥恒成立，求实数k的取值范围．
由不等式恒成立求解参数的取值范围问题
常采用的方法是分离参数求最值，即
要使a≥g(x)恒成立，只需a≥g(x)max；
要使a≤g(x)恒成立，只需a≤g(x)min.
当参数不宜进行分离时，可直接求最值建立关于参数的不等式并求解．例如，
要使不等式f(x)≥0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，
令h(a)≥0即可求出a的取值范围．
不等式恒成立问题的求解方法
参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数取值范围的关键就是找到这样的不等式．
方法点拨
考点微练
(2020届安徽十四校联盟上学期11月段考)已知函数f(x)＝x(1－acos x)，x∈.
(1)若a＝，判断函数f(x)的单调性；
(2)若对于x∈，f(x)＋sin x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
考点三　利用导数解决存在性问题(高考热度：★★)
[例3] 已知函数f(x)＝x2－(2a＋1)x＋aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)函数g(x)＝(1－a)x，若x0∈[1，e]使得f(x0)≥g(x0)成立，求实数a的取值范围．
1．含参数的存在型(能成立)问题的解题方法
(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；
(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.
解题通法
2．含全称、存在量词不等式能成立问题的解题方法
(1)存在x1∈A，对于任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max；
(2)对于任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min.
考点微练
已知函数f(x)＝m(x－)－2ln x(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)考点四　利用导数解决函数零点问题(高考热度：★★★)
[例4] (2019全国卷Ⅰ，20)已知函数f(x)＝sin x－ln(1＋x)，f ′(x)为f(x)的导数．证明：
(1)f ′(x)在区间(－1，)存在唯一极大值点；
(2) f(x)有且仅有2个零点．
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x) (要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．
解题通法
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断出函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．
考点微练
1．已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝ －4ln x的零点个数．
2．函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．
素养提升
切线临界性的应用
曲线y＝f(x)的切线可以是直线与曲线交点个数的分界点，也可以是一个非一次解析式与一次解析式满足的不等式的分界线，利用这种临界性可以解决函数零点、不等式等问题．
[例1] 已知f(x)＝ 若方程f(x)－2ax＝a－1有唯一解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．[，＋∞)
C．{－8}∪[，＋∞) D．{－8}∪(，＋∞)
1．确定方程解的个数
D
过某个定点的直线系中，如果有一条是曲线y＝f(x)的切线，且曲线上除切点外其余点位于切线同一侧，则该切线是直线与曲线交点个数的分界线，利用这种临界性即可确定直线系与曲线的交点个数，从而确定函数零点个数、方程实数根的个数等问题．
素养评析
1．若函数f(x)＝ln(x－1)＋－ax(a＞0)恰有一个零点，则实数a的值为(　　)
A． B．2 C． D．e
A
素养微练
2．(2019河南八市重点中学联盟“领军考试”第五次测评)已知函数f(x)＝，若方程f(－x)＝－f(x)有五个不同的实数根，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0， )
C．(－∞，0) D．(0，1)
B
2．确定不等式
[例2] 已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x≥1时，f(x)＝，若不等式f(x)≥6x＋a恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－13 B．a≥13
C．a≥12 D．a≤－12
如果曲线y＝f(x)与直线y＝ax＋b相切，且曲线上除切点外其余各点均在切线一侧，则一定有f(x)≥ax＋b或f(x)≤ax＋b恒成立．
素养评析
1．关于x的方程kx＝sin x，k∈(0，1)，在(－3π，3π)内有且仅有5个实根，设最大的实根是α，则α与tan α的大小关系是(　　)
A．α＞tan α B．α＜tan α
C．α＝tan α D．以上都不对
C
素养微练
2．已知函数f(x)＝ ，e为自然对数的底数．若f(x)≥ax－1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，＋∞) B．[0，e]
C．[0，1] D．[e，＋∞)
B
3．不等式kx≥ (x＞0) 恒成立，则k的最小值为(　　)
A． B． C． D．1
A
4．函数f(x)＝x3＋x，若x∈[0，2]，都有|f(ax－ex＋1)|≤2，则实数a的取值范围是_____________．
通过本节课，你学会了什么？
解析过程见配套学案