人教版（2019）数学选择性必修二 5.3.1 导数与函数的单调性——构造函数 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
导数与函数的单调性——构造函数
含f(x)，f ′(x)的不等式
函数的单调性是由其导数的符号确定的，在一些已知条件含有f(x)，f′(x)的不等式的问题中，可以利用导数公式、适当的变换，把f(x)，f′(x)的关系表达为一个函数g(x)的导数，得出g′(x)＞0或g′(x)＜0，从而得出函数g(x)的单调性，利用单调性比较函数值的大小、解函数不等式等，本专题就研究几类这种形式的问题．
1．f(x)±f ′(x)类
[例1] 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有＝e2x，当x＜0时f(x)＋f′(x)＞0，若eaf(2a＋1)≥f(a＋1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[－，0]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
B
[exf(x)]′＝[f(x)＋f ′(x)]ex，[]′＝ ，
在含有f(x)±f ′(x)的不等式中可考虑构造函数g(x)＝exf(x)，g(x)＝ .
素养评析
1．设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝2 018，则不等式exf(x)＞ex＋2 017(其中e为自然对数的底数)的解集为 (　　)
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2 017，＋∞)
C．(2 017，＋∞)
D．(0，＋∞)
D
素养微练
2．函数f(x)的导函数f ′(x)，x∈R，都有f(x)＜f ′(x)成立，若f(1)＝e，则满足不等式f(x)＞ex的x的范围是(　　)
A．x＞1 B．0＜x＜1
C．x＞ln 2 D．0＜x＜ln 2
A
2．含有f(x)±xf ′(x)类
[例2] 已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f ′(x)＋＞0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
B
含有xf ′(x)±f(x)类的，可以构造函数g(x)＝xf(x)，或g(x)＝ (x≠0)．
素养评析
1．已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，x∈R.当x∈(0，＋∞)时，xf′(x)＋f(x)＞0.若af(a)≥2f(2－a)＋af(a－2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．[－1，1]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞)
D
素养微练
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＜0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex＞0的解集是(　　)
A．(－∞，ln 2) B．(ln 2，＋∞)
C．(0，e2) D．(e2，＋∞)
A
3．含ln x以及f(x)，f ′(x)类型
[例3] 已知函数f(x)＝的导函数f′(x)满足(x＋xln x)f′(x)＜f(x)，对x∈(，＋∞)恒成立，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．2f(1)＞f(e) B．e2f(1)＞f(e)
C．2f(1)＜f(e) D．ef(1)＜f(e)
A
利用(ln x)′＝，通过变换，把已知不等式化为一端符合导数的积商公式、另一端为零的形式，通过构造函数即可得出构造的函数的单调性，利用单调性解题．
素养评析
1．已知函数f(x)＝，若存在x∈[，]，使得f(x)＋xf′(x)＜0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
B
素养微练
2．设函数f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且xf′(x)ln x＞f(x)(x＞1)，f(e2)＝2，则不等式f(ex)＜x的解集是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(1，2) D．(0，2)
D
构造函数比较大小
涉及已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
1．x与f(x)的组合函数
[例4] (2020届广西南宁一中高三月考)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f ′(x)>1，则不等式 f(x)－x>0的解集为________．
(2，＋∞)
1. (2020届安徽滁州一中高三月考)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3，3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是(　　)
A．3e，3π　 B．3e，eπ　 C．e3，π3　 D．πe，3π
A
素养微练
2．ex与f(x)的组合函数
[例5] 已知f(x)(x∈R)有导函数f ′(x)，且x∈R，f ′(x)＞f(x)，n∈N*，则有(　　)
A．enf(－n)＜f(0)，f(n)>enf(0)
B．enf(－n)＜f(0)，f(n)C．enf(－n)＞f(0)，f(n)>enf(0)
D．enf(－n)＞f(0)，f(n)A
A
设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，则(　　)
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则aC．若ea－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a素养微练