人教版（2019）数学选择性必修二 5.3导数与函数的单调性 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
导数与函数的单调性
新课程标准 考向预测 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 3.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用. 命题角度 1.导数与函数的单调性
2.导数与函数的极值、最值
3.导数与不等式
4.导数与函数的零点
核心素养 数学运算
逻辑推理
基础梳理
导数 单调性 单调递增 在(a，b)上，若f ′(x)>0，则f(x)在这个区间上单调________
单调递减 在(a，b)上，若f ′(x)<0，则f(x)在这个区间上单调________
递增
递减
基础点　导数与函数单调性的关系
单调性 导数 单调递增 若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递增，则f ′(x)________0
单调递减 若函数y＝f(x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)________0
函数y＝f(x)在(a，b)上的导数大(小)于0是其单调递增(减)的____________条件 ≥
≤
充分不必要
基础小测
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
D
2．函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
A　　　 B　　 　C　　　 D
D
3．函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间是__________．
(0，＋∞)
f ′(x)＝ex－1>0
x>0
考点突破
考点一　函数单调性的判断(高考热度：★★)
[例1]　已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)．讨论f(x)的单调性．
讨论函数f(x)单调性的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f ′(x)，并求方程f ′(x)＝0的根；
(3)利用f ′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
解题通法
研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
易错提醒
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝sin 2x　　　　　　B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
考点微练
B
2．已知函数f(x)＝ (m≥0)，其中 e为自然对数的底数．讨论函数 f(x)的单调性．
考点二 求函数的单调区间
[例2]　(2019广东清远一中月考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－ 处取得极值．
(1)确定a的值；
(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调递减区间．
解题通法
用导数法求可导函数单调区间的一般步骤
求定义域
求导数
求=0在定义域内的根
用求得的根
划分定义区间
确定在各个开区间内的符号
得相应开区间上的单调性
1．(2019浙江卷节选)已知实数a≠0，设函数f(x)＝aln x＋ ，x＞0.当a＝－时，求函数f(x)的单调区间．
考点微练
2．(2019河北冀州中学检测)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax(a＞0)．
(1)若函数y＝f(x)的导函数是奇函数，求a的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
考点三 函数单调性的简单应用
[例3]　已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
变式1 已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是_____________．
(－∞，3]
同源变式
变式2 已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在区间(－1，1)上为减函数，则a的取值范围是__________．
[3，＋∞)
(1)利用集合间的包含关系处理
y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题
即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．
已知函数单调性，求参数范围的两个方法
解题通法
f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
易错提醒
1．(2020届广西桂林一中高三月考)已知定义域为R的偶函数f(x)的导函数为f ′(x)，当x＜0时，xf ′(x)－f(x)＜0.若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bC．a＜b＜c D．c＜a＜b
D
考点微练
2．(2020届湖北宜昌一中高三月考)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)－f(x)＜0，其中f ′(x)是函数f(x)的导函数．若2f(m－2 019)＞(m－2 019)f(2)，则实数m的取值范围为(　　)
A．(0，2019) B．(2019，＋∞)
C．(2021，＋∞) D．(2019，2021)
D
3．(2020届安徽滁州一中高三月考)设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x＞0时，有＜0恒成立，则不等式x2f(x)＞0的解集是___________________．
(－∞，－2)∪(0，2)
1．根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，其关键是观察函数的特点构造恰当的函数．
2．含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系.
解题通法
素养提升
含f(x)，f ′(x)的不等式
函数的单调性是由其导数的符号确定的，在一些已知条件含有f(x)，f′(x)的不等式的问题中，可以利用导数公式、适当的变换，把f(x)，f′(x)的关系表达为一个函数g(x)的导数，得出g′(x)＞0或g′(x)＜0，从而得出函数g(x)的单调性，利用单调性比较函数值的大小、解函数不等式等，本专题就研究几类这种形式的问题．
1．f(x)±f ′(x)类
[例1] 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，对于任意的实数x，都有＝e2x，当x＜0时f(x)＋f′(x)＞0，若eaf(2a＋1)≥f(a＋1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[－，0]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
B
[exf(x)]′＝[f(x)＋f ′(x)]ex，[]′＝ ，
在含有f(x)±f ′(x)的不等式中可考虑构造函数g(x)＝exf(x)，g(x)＝ .
素养评析
1．设f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)＋f′(x)＞1，f(0)＝2 018，则不等式exf(x)＞ex＋2 017(其中e为自然对数的底数)的解集为 (　　)
A．(－∞，0)∪(0，＋∞)
B．(－∞，0)∪(2 017，＋∞)
C．(2 017，＋∞)
D．(0，＋∞)
D
素养微练
2．函数f(x)的导函数f ′(x)，x∈R，都有f(x)＜f ′(x)成立，若f(1)＝e，则满足不等式f(x)＞ex的x的范围是(　　)
A．x＞1 B．0＜x＜1
C．x＞ln 2 D．0＜x＜ln 2
A
2．含有f(x)±xf ′(x)类
[例2] 已知函数y＝f(x)是R上的可导函数，当x≠0时，有f ′(x)＋＞0，则函数F(x)＝xf(x)＋的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
B
含有xf ′(x)±f(x)类的，可以构造函数g(x)＝xf(x)，或g(x)＝ (x≠0)．
素养评析
1．已知奇函数f(x)的导函数为f′(x)，x∈R.当x∈(0，＋∞)时，xf′(x)＋f(x)＞0.若af(a)≥2f(2－a)＋af(a－2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．[－1，1]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．[1，＋∞)
D
素养微练
2．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＜0，且f(2)＝2，则f(ex)－ex＞0的解集是(　　)
A．(－∞，ln 2) B．(ln 2，＋∞)
C．(0，e2) D．(e2，＋∞)
A
3．含ln x以及f(x)，f ′(x)类型
[例3] 已知函数f(x)＝的导函数f′(x)满足(x＋xln x)f′(x)＜f(x)，对x∈(，＋∞)恒成立，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．2f(1)＞f(e) B．e2f(1)＞f(e)
C．2f(1)＜f(e) D．ef(1)＜f(e)
A
利用(ln x)′＝，通过变换，把已知不等式化为一端符合导数的积商公式、另一端为零的形式，通过构造函数即可得出构造的函数的单调性，利用单调性解题．
素养评析
1．已知函数f(x)＝，若存在x∈[，]，使得f(x)＋xf′(x)＜0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)
B
素养微练
2．设函数f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，f′(x)是函数f(x)的导函数，且xf′(x)ln x＞f(x)(x＞1)，f(e2)＝2，则不等式f(ex)＜x的解集是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(1，2) D．(0，2)
D
构造函数比较大小
涉及已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
1．x与f(x)的组合函数
[例4] (2020届广西南宁一中高三月考)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f ′(x)>1，则不等式 f(x)－x>0的解集为________．
(2，＋∞)
1. (2020届安徽滁州一中高三月考)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3，3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是(　　)
A．3e，3π　 B．3e，eπ　 C．e3，π3　 D．πe，3π
A
素养微练
2．ex与f(x)的组合函数
[例5] 已知f(x)(x∈R)有导函数f ′(x)，且x∈R，f ′(x)＞f(x)，n∈N*，则有(　　)
A．enf(－n)＜f(0)，f(n)>enf(0)
B．enf(－n)＜f(0)，f(n)C．enf(－n)＞f(0)，f(n)>enf(0)
D．enf(－n)＞f(0)，f(n)A
A
设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，则(　　)
A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a>b
B．若ea＋2a＝eb＋3b，则aC．若ea－2a＝eb－3b，则a>b
D．若ea－2a＝eb－3b，则a素养微练
通过本节课，你学会了什么？