人教版（2019）数学选择性必修二 5.3导数与函数的极值、最值课 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
导数与函数的极值、最值
基础梳理
极值的概念 极大值 x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有___________，那么f(x)在x0处取得极大值f(x0)，称x＝x0为函数f(x)的一个极大值点
基础点一　函数的极值
f(x)极值的概念 极小值 x0为函数y＝f(x)定义域内一点，如果对x0附近所有的x都有__________，那么f(x)在x0处取得极小值f(x0)，称x＝x0为函数f(x)的一个极小值点
f(x)>f(x0)
导数与极值 极大值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f ′(x0)＝0，若在点
x0附近左侧________，右侧________，则x＝
x0为函数的极大值点
极小值 函数y＝f(x)在点x0处连续且f ′(x0)＝0，若在点
x0附近左侧________，右侧_________，则x
＝x0为函数的极小值点
f ′(x)>0
f ′(x)<0
f ′(x)<0
f ′(x)>0
对于可导函数f(x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点.
易错提醒
1．(2020届湖南常德一中高三月考)函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A． B．
C．e D．e2
C
基础小测
2．(2020届山东曲阜二中高三月考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D
1．在[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
2．若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值．
f(a)
f(b)
f(a)
f(b)
基础点二　函数的最值
1．(2020届湖南常德一中高三月考) 函数f(x)＝ x2－ln x的最小值为(　　)
A． B．1
C．0 D．不存在
A
基础小测
2．(2020届山东济宁一中高三月考)已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值是________．
－4
考点突破
[例1] (2020届湖南师大附中高三月考)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f ′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
B
考点一　利用导数研究函数的极值(高考热度：★★★)
考向1　 利用函数图象判断函数的极值
[例2] (多选题)已知函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图2，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数f(x)只有一个极值点
BD
由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1)由y＝f ′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f ′(x)的图象可以看出y＝f ′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．结合(1)(2)可得极值点．
方法总结
考向2　求函数的极值
[例3] 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
(1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数f ′(x)；
(2)求f ′(x)＝0的根；
(3)判断在f ′(x)＝0的根的左、右两侧f ′(x)的符号，确定极值点；
(4)求出具体极值.
求函数极值的一般步骤
1．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则a＝________，f(x)的极小值为________．
－1
－e
考点微练
2．设函数f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．
(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若d＝3，求f(x)的极值．
考向3　已知函数极值求参数
[例4] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
1．列式
根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
2．验证
因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
解题通法
1．(2020届辽宁沈阳铁路实验中学上学期10月月考)若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则b的取值范围为(　　)
A．0C．b>0 D．b<
A
考点微练
1
2．若函数f(x)的导数f ′(x)＝(x－)(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝________.
考点二　利用导数求函数的最值(高考热度：★★)
[例5] 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
1．利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
解题通法
2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
解题通法
考点微练
已知函数f(x)＝ ＋kln x，k＜ ，求函数f(x)在[，e]上的最大值和最小值．
若例题条件中的“k＜”改为“k≥”，则函数f(x)在[，e]上的最小值是多少？
同源变式
考点三　导数与生活中的优化问题(高考热度：★★★)
[例6] (2020届天津和平区一中上学期10月月考)用边长为18 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为(　　)
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
C
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答．
解题通法
考点微练
(2020届河北武邑中学高三月考)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为[()3＋1]升，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9升，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5升，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y升．
(1)求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少．
通过本节课，你学会了什么？