人教版（2019）数学选择性必修二：第四章数列 章末复习 课件（共39张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版（2019）数学选择性必修二：第四章数列 章末复习 课件（共39张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-11 08:15:51 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第四章 数列章末复习
高二选择性必修二
数列的概念
等差数列
等比数列
数学归纳法*
概念：按一定顺序排列的一列数
分类
递增、递减、摆动和常数列
有穷数列和无穷数列
表示法
通项公式
递推公式
定义： an+1 -an=d(n∈N*,d为常数)
等差中项
应用
通项公式： an=a1+(n-1)d
性质
应用
前n项和公式Sn= = na1+ d
定义：=q(q≠0，n∈N*)
通项公式：an=a1qn-1
性质
应用
等比中项
应用
前n项和公式Sn= = (q≠1)
数列
知识体系
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 求数列的通项公式
[例1] (1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝( )
A．2n B．2n＋1 C D．
由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，
而＝a10＞0，所以q＞1，an＞0.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，
则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)．
由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2.因此an＝2n.
A
法一
题型一 求数列的通项公式
[例1] (1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝( )
A．2n B．2n＋1 C D．
A
法二
由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，
而＝a10＞0，所以an＞0，q＞1.
由条件得2＝5，即2＝5，解得q＝2.
又由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n.
题型一 求数列的通项公式
[例1] (2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
∵an＋1＝3an＋4，
∴an＋1＋2＝3(an＋2)．
令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，
∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，
则bn＝3n，
∴an＝3n－2.
法一
题型一 求数列的通项公式
[例1] (2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
∵an＋1＝3an＋4， ①
∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②
①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．
∵a2－a1＝3＋4－1＝6，
∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，
即an＋1－an＝6×3n－1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2.
法二
方法总结
累加或
累乘法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝ 求解.
形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式.
构造法
如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋n}为等比数列，再求解得通项公式.
定义法
数列通项公式的求法
跟踪训练
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，求数列的通项公式an.
由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2(n－1)－an－1]＝－an＋2＋an－1，
所以an＝ an－1＋1，即an－2＝ (an－1－2)．
令bn＝an－2，则bn＝ bn－1，且b1＝1－2＝－1，
于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，
所以bn＝－1×()n-1＝－()n-1 ，故an＝2－ ()n-1.
题型二 等差、等比数列的基本运算
[例2] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[例2] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
设{an}的公比为q，
a1＝2，a4＝16
16＝2q3
q＝2
an＝2×2n－1＝2n
[例2] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝ ＝6n2－22n.
解得
在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
方法总结
跟踪训练
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，
∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.
由a1＝－10，d＝2，得：
Sn＝－10n＋×2＝n2－11n＝ ，
题型三 等差、等比数列的判定
[例3] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝ ，求证：{cn}是等差数列．
[例3] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
[例3] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(2)设cn＝ ，求证：{cn}是等差数列．
由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以＝3.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝ ＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(常数) {an}是等差数列；
＝q(q为常数，q≠0) {an}是等比数列.
(2)中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；
＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比数列.
(3)通项公式法
an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；
an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列.
(4)前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是等比数列.
跟踪训练
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋ ＋…＋ < .
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋ ).
因为a1＋＝ ，
所以是首项为，公比为3的等比数列．
所以an＋ ＝ ，因此{an}的通项公式为an＝ .
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(2)证明＋ ＋…＋ < .
由(1)知＝ .
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤ .
于是＋ ＋…＋ ≤1＋＋…＋ ＝ (1- )< .
所以＋ ＋…＋ < .
题型四 等差、等比数列的性质
[例4] (1) (多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，
则a8为定值，S15＝ ＝15a8为定值，
但S16＝ ＝8不是定值．
BC
(2) (多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2019a2020>1， <0，下列结论正确的是( )
A．S2019C．T2020是数列{Tn}中的最大值 D．数列{Tn}无最大值
当q＜0时，a2019a2020＝ q＜0，不成立；
当q≥1时，a2019≥1，a2020＞1， ＜0不成立；
故0＜q＜1，且a2019＞1，0＜a2020＜1，故S2020＞S2019，A正确；
a2019a2021－1＝ －1＜0，故B正确；
T2019是数列{Tn}中的最大值，CD错误.
AB
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝ ＝4 a3＝2，
5
log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5
＝log2(a1a2a3a4a5)
＝log2
＝5log22
＝5.
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.
解决等差、等比数列有关问题的几点注意
方法总结
跟踪训练
4．(1)已知{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值．
因为数列{an}为等比数列，
∴a2a4＝，a4a6＝ ，
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴ ＋2a3a5＋ ＝25，而an＞0，
故a3＋a5＝5.
跟踪训练
4． (2)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
根据数列{an}为等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，
即48，60－48，S3n－60，…成等比数列，
∴48×(S3n－60)＝122，
解得S3n＝63.
题型五 数列求和
1．若数列{cn}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn＋bn，如何求数列{an}的前n项和？
[探究问题]
[提示]
数列{an}的前n项和等于数列{cn}和{bn}的前n项和的和．
2．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：
12－22＋32－42＋…＋992－1002.
[探究问题]
[提示]
12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.
3．我们知道＝ －，试用此公式求和： ＋ ＋…＋ .
[提示] 由＝ －得 ＋ ＋…＋
＝1－＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .
[探究问题]
[例5] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和．
[例5] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1) 求an；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)，
则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，＝ ＝c3＝8，
∴c＝2.
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
∴an＝2n.
当n＝1时，a1＝S1＝2.
综上所述，an＝2n(n∈N*)．
解得k＝2，
[例5] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(2)求数列{nan}的前n项和．
nan＝n·2n，
则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.
多维探究
变式1 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
求数列{n＋an}的前n项和Tn .
Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n)
＝ ＋
＝2n＋1－2＋
变式2 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. 求数列的前n项和Tn．
Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， ①
Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋， ②
Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ ＝1－－，
∴Tn＝2－ － ＝2－ .
①－②得：
变式3 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. 设Sn是数列{an}的前n项和，bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn.
由(1)知an＝2n，
∴Sn＝ ＝ ＝2n＋1－2.
因为bn＝ ＝ ＝ －，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝ － ＝ － ＝ .
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式.
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导.
方法总结
第四章 数列章末复习
高二选择性必修二
数列的概念
等差数列
等比数列
数学归纳法*
概念：按一定顺序排列的一列数
分类
递增、递减、摆动和常数列
有穷数列和无穷数列
表示法
通项公式
递推公式
定义： an+1 -an=d(n∈N*,d为常数)
等差中项
应用
通项公式： an=a1+(n-1)d
性质
应用
前n项和公式Sn= = na1+ d
定义：=q(q≠0，n∈N*)
通项公式：an=a1qn-1
性质
应用
等比中项
应用
前n项和公式Sn= = (q≠1)
数列
知识体系
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 求数列的通项公式
[例1] (1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝( )
A．2n B．2n＋1 C D．
由数列{an}为递增的等比数列，可知公比q＞0，
而＝a10＞0，所以q＞1，an＞0.
由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2an＋2anq2＝5anq，
则2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝(舍去)．
由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，解得a1＝2.因此an＝2n.
A
法一
题型一 求数列的通项公式
[例1] (1)已知等比数列{an}为递增数列，且＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列的通项公式an＝( )
A．2n B．2n＋1 C D．
A
法二
由等比数列{an}为递增数列知，公比q＞0，
而＝a10＞0，所以an＞0，q＞1.
由条件得2＝5，即2＝5，解得q＝2.
又由＝a10，得(a1q4)2＝a1q9，即a1＝q＝2，故an＝2n.
题型一 求数列的通项公式
[例1] (2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
∵an＋1＝3an＋4，
∴an＋1＋2＝3(an＋2)．
令bn＝an＋2，∵b1＝a1＋2＝3，
∴数列{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，
则bn＝3n，
∴an＝3n－2.
法一
题型一 求数列的通项公式
[例1] (2)已知数列{an}中，an＋1＝3an＋4，且a1＝1，求通项公式．
∵an＋1＝3an＋4， ①
∴an＝3an－1＋4(n≥2)． ②
①－②，得an＋1－an＝3(an－an－1)(n≥2)．
∵a2－a1＝3＋4－1＝6，
∴数列{an＋1－an}是首项为6，公比为3的等比数列，
即an＋1－an＝6×3n－1＝2×3n，利用累加法得an＝3n－2.
法二
方法总结
累加或
累乘法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.
已知Sn求an
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝ 求解.
形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式.
构造法
如an＋1＝Aan＋B可构造{an＋n}为等比数列，再求解得通项公式.
定义法
数列通项公式的求法
跟踪训练
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－an，求数列的通项公式an.
由a1＝S1＝2－a1，得a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－an－[2(n－1)－an－1]＝－an＋2＋an－1，
所以an＝ an－1＋1，即an－2＝ (an－1－2)．
令bn＝an－2，则bn＝ bn－1，且b1＝1－2＝－1，
于是数列{bn}是首项为－1，公比为的等比数列，
所以bn＝－1×()n-1＝－()n-1 ，故an＝2－ ()n-1.
题型二 等差、等比数列的基本运算
[例2] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
[例2] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1) 求数列{an}的通项公式；
设{an}的公比为q，
a1＝2，a4＝16
16＝2q3
q＝2
an＝2×2n－1＝2n
[例2] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有
所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项和Sn＝ ＝6n2－22n.
解得
在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
方法总结
跟踪训练
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(1)求{an}的通项公式；
∵{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
∴(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)，
∴(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－10＋2n－2＝2n－12.
2．设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
∴n＝5或n＝6时，Sn取最小值－30.
由a1＝－10，d＝2，得：
Sn＝－10n＋×2＝n2－11n＝ ，
题型三 等差、等比数列的判定
[例3] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
(2)设cn＝ ，求证：{cn}是等差数列．
[例3] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；
an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.
＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.
所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
[例3] 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)．
(2)设cn＝ ，求证：{cn}是等差数列．
由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，
所以＝3.
所以cn＋1－cn＝3，且c1＝ ＝2，
所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.
等差数列、等比数列的判断方法
(1)定义法
an＋1－an＝d(常数) {an}是等差数列；
＝q(q为常数，q≠0) {an}是等比数列.
(2)中项公式法
2an＋1＝an＋an＋2 {an}是等差数列；
＝an·an＋2(an≠0) {an}是等比数列.
(3)通项公式法
an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；
an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列.
(4)前n项和公式法
Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列；
Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是等比数列.
跟踪训练
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明＋ ＋…＋ < .
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；
由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋ ).
因为a1＋＝ ，
所以是首项为，公比为3的等比数列．
所以an＋ ＝ ，因此{an}的通项公式为an＝ .
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(2)证明＋ ＋…＋ < .
由(1)知＝ .
因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤ .
于是＋ ＋…＋ ≤1＋＋…＋ ＝ (1- )< .
所以＋ ＋…＋ < .
题型四 等差、等比数列的性质
[例4] (1) (多选题)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有( )
A．a7 B．a8 C．S15 D．S16
由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，
则a8为定值，S15＝ ＝15a8为定值，
但S16＝ ＝8不是定值．
BC
(2) (多选题)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2019a2020>1， <0，下列结论正确的是( )
A．S2019
当q＜0时，a2019a2020＝ q＜0，不成立；
当q≥1时，a2019≥1，a2020＞1， ＜0不成立；
故0＜q＜1，且a2019＞1，0＜a2020＜1，故S2020＞S2019，A正确；
a2019a2021－1＝ －1＜0，故B正确；
T2019是数列{Tn}中的最大值，CD错误.
AB
(3)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________.
由等比数列的性质知a1a5＝a2a4＝ ＝4 a3＝2，
5
log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5
＝log2(a1a2a3a4a5)
＝log2
＝5log22
＝5.
(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；
(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；
(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式和性质解题；
(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系.
解决等差、等比数列有关问题的几点注意
方法总结
跟踪训练
4．(1)已知{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5的值．
因为数列{an}为等比数列，
∴a2a4＝，a4a6＝ ，
又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴ ＋2a3a5＋ ＝25，而an＞0，
故a3＋a5＝5.
跟踪训练
4． (2)在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
根据数列{an}为等比数列，
则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列，
即48，60－48，S3n－60，…成等比数列，
∴48×(S3n－60)＝122，
解得S3n＝63.
题型五 数列求和
1．若数列{cn}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，且an＝cn＋bn，如何求数列{an}的前n项和？
[探究问题]
[提示]
数列{an}的前n项和等于数列{cn}和{bn}的前n项和的和．
2．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：
12－22＋32－42＋…＋992－1002.
[探究问题]
[提示]
12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)
＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.
3．我们知道＝ －，试用此公式求和： ＋ ＋…＋ .
[提示] 由＝ －得 ＋ ＋…＋
＝1－＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ .
[探究问题]
[例5] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1)求an；
(2)求数列{nan}的前n项和．
[例5] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(1) 求an；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)，
则a6＝k(c6－c5)，a3＝k(c3－c2)，＝ ＝c3＝8，
∴c＝2.
∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4，
∴an＝2n.
当n＝1时，a1＝S1＝2.
综上所述，an＝2n(n∈N*)．
解得k＝2，
[例5] 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
(2)求数列{nan}的前n项和．
nan＝n·2n，
则Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，
两式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
∴Tn＝2＋(n－1)·2n＋1.
多维探究
变式1 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3.
求数列{n＋an}的前n项和Tn .
Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n
＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n)
＝ ＋
＝2n＋1－2＋
变式2 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. 求数列的前n项和Tn．
Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ ， ①
Tn＝ ＋ ＋…＋ ＋， ②
Tn＝ ＋ ＋ ＋…＋ － ＝ ＝1－－，
∴Tn＝2－ － ＝2－ .
①－②得：
变式3 已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3. 设Sn是数列{an}的前n项和，bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn.
由(1)知an＝2n，
∴Sn＝ ＝ ＝2n＋1－2.
因为bn＝ ＝ ＝ －，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝ － ＝ － ＝ .
数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法有：
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式.
(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.
(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.
(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导.
方法总结