山东省菏泽市2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（含答案）

菏泽市2022-2023学年度第一学期期中考试
高三数学试题（A）
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．里氏震级M是由美国地震学家里克特于1935年提出的一种震级标度．它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式计算出来的震源处地震的大小．目前世界上已测得的最大震级为里氏8.9级（1960年智利大地震）．里氏震级M的计算公式为，其中，A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差），5级地震给人的震感已比较明显，则里氏7.5级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍数是（ ）．（参考数据：．）
A．79 B．158 C．316 D．632
4．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）．
A．3 B．6 C． D．
5．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
6．已知函数，且，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）．
A． B． C． D．
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆面积与面积之比的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．在区间单调递减
C．在区间上有且仅有2个零点
D．将的图象向右平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
11．若，，则下列选项正确的有（ ）．
A． B． C． D．
12．已知函数，，设方程的3个实根分别为，，，且，则的值可能为（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．命题p：“，”为假命题，则实数a的取值范围是______．
14．已知函数，则______．
15．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析式______；
（2）利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点对称，则______．
16．已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；
（2）D为BC边上一点，，且，求C．
18．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）解关于x的不等式，；
（2）若，，，求实数n的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）在下列三个条件中选择一个作为已知，使得实数m的值唯一确定，并求出使函数在区间上最小值为时a的取值范围；
条件①：的最大值为1；
条件②：的一个对称中心为；
条件③：的一条对称轴为．
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．
（2）若，在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）若，求的极值；
（2）若在区间内有零点，求实数a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药时，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．现有两种清洗方式：
①用x个单位的水冲洗，冲洗后蔬菜上农药残留量与本次冲洗前残留量之比为函数；
②用x个单位的水充分浸泡，浸泡后蔬菜上农药残留量与本次浸泡前残留量之比为函数．
（1）试规定的值，并解释其实际意义；
（2）试根据假定写出函数应该满足的条件和具有的性质；
（3）设，，现有m个单位的水清洗蔬菜，可选择冲洗，也可以选择把水均分成两份后浸泡两次，哪种方案清洗后蔬菜上农药残留量比较少？请说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）若时，，求实数a的取值范围．
高三数学试题（A）参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．B 7．D 8．B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AD 10．BC 11．ACD 12．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．
15．（答案不唯一）；（第一空2分，第二空3分）
16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）
解：（1）由得
得，即，
由余弦定理，得，
由于，所以．
（2）由（1）可知，所以，
在中，，
在中，，
又因为，，所以，
所以由余弦定理可得，，
所以．
18．（12分）
解：（1）由，
得，即．
当即时，不等式恒成立；
当即时，；
当即时，．
综上，当时，不等式的解集是R，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是．
（2）由和是增函数，所以是增函数，
又是减函数，所以是减函数，则是减函数．
即，
所以，所以，
又，当且仅当时，等号成立，
即对恒成立，
所以，解得．
所以n的取值范围是．
19．（12分）
解：（1）
，
选条件①：因为的最大值为1，所以，即，
此时实数m的值唯一确定，满足题意．
当时，，
所以，解得，
所以函数在区间上最小值为时a的取值范围为．
选条件②：的一个对称中心为，
所以，即，
此时实数m的值唯一确定，满足题意，
当时，，
所以，解得，
所以函数在区间上最小值为时a的取值范围为．
条件③：的一条对称轴为，此时m的值无法确定，不满足题意．
（2）当时，，
因为，所以，
因为为锐角三角形，所以，，
所以，故有．
已知能盖住的最小圆为的外接圆，由面积为，则半径，
设的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
由正弦定理．
所以，，
，
因为为锐角三角形，所以．
所以，则，
故，所以的取值范围是．
20．（12分）
解：（1）由函数，则，．
当时，令得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
（2）方法一：由，，
①当时，，即恒成立，
所以在上单调递减，
要使在内有零点，则，即，
所以．
②当时，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，所以需，
所以．
③当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，
此时，所以恒成立，不符合条件．
综上可知，a的取值范围为．
方法二：令得，
设，，则，
令，得，
在上递增，在上递减，
且，，，
所以．
21．（12分）
解：（1），表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药残留量没有减少．
（2）函数应该满足的条件和具有的性质是：，，
在上单调递减，且．
（3）若用m个单位的水进行冲洗，则残留的农药比例为，
若将水均分成两份进行浸泡，
则残留的农药比例为，
所以，
当，即时，，浸泡两次后农药残留量较少，
当，即时，，冲洗与浸泡两次后农药残留量相等，
当，即时，，冲洗后农药残留量较少．
22．（12分）
解：（1）函数的定义域为R，由．
得．
若，则，函数在R上单调递增．
若，则时，，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
若，则时，时，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）方法一：当时，，
所以，
令，则；
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以，使得，
则当时，，即；
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
由得：，则，
所以，
又在上单调递增，
所以，，所以，
所以，解得，即实数a的取值范围为．
方法二：
先证明．设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当且仅当时等号成立，
设，则，
当且仅当时等号成立，
设，则在上单调递增，
且，，
所以存在使成立，所以，
所以，．