湖北省鄂西北六校2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（含答案）

鄂西北六校2022-2023学年高三上学期期中联考
数学试题
考试时间：2022．10．2615：00-17：00时限：120（分钟）分值：150（分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等在答题卷上填写清楚．
2．选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知平面向量，，满足，，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，，，则图像为下图的函数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．我们可以把看作每天的“进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍．如果每天的“进步”率和“落后”率都是20%，大约经过（ ）天后，“进步”是“落后”的10000倍．（，）
A．17 B．18 C．21 D．23
7．已知函数的图像在处的切线过点，则（ ）
A． B．2 C．3 D．4
8．已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知命题p：“，”．下列说法正确的是（ ）
A．p为真命题 B．p为假命题
C．：， D．：，
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到
B．函数的一条对称轴是
C．函数的对称中心是
D．函数的单调递增区间是
11．定义在上的函数，满足，且，下列说法正确的是（ ）
A． B．的极大值为
C．有两个零点 D．
12．已知函数在上的图像的两个端点分别为，，设是图像上任意一点，其中，，．若不等式恒成立，则称函数在上为“k”函数．若函数在上为“k”函数，则下列能够满足条件的k的值有（ ）
A． B．1 C． D．2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．复数的共轭复数的虚部为________．
14．设点M是□ABCD的对角线的交点，O为任意一点，满足，则为________．
15．已知，则的最小值为________．
16．已知函数，若函数的零点一共有3个，则实数m的取值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知函数在区间上的最大值为3．
（1）求常数m的值；
（2）在△ABC中，若，求的最大值．
18．已知k为实数，命题甲：关于x的不等式的解集为R；命题乙：关于x的方程有两个不相等的负实根．
（1）若甲为真命题，求实数k的取值范围；
（2）若甲、乙至少有一个为真命题，求实数k的取值范围．
19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且．
（1）求角A；
（2）若，△ABC的面积为，求b、c．
20．已知函数的定义域为R，且．
（1）判断的奇偶性及在上的单调性，并分别用定义进行证明；
（2）若对，恒成立，求实数a的取值范围．
21．环境污染日益严重，某科研单位为了净化空气，进行实验研究发现，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度t（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时，．如果进行多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到净化空气的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天能够持续有效净化，试求m的最小值．（精确到0.1，参考数据：）
22．若函数，．
（1）求的零点个数；
（2）若的两个相异零点为，求证：．
鄂西北六校2022-2023学年高三上学期期中联考
数学答案
一、单项选择题（每题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D D D D B A
二、多项选择题（每题5分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 BD BD AB BCD
三、填空题（每题5分，共20分）
13． 14．4 15． 16．
四、解答题（共70分）
17．（1）
，，
，则．
（2），，所以
，则．
，则，
所以的最大值为1．
18．（1）由命题甲，关于x的不等式的解集为R
当时，恒成立；
当时，则满足，解得
综上：
（2）由命题乙：关于x的方程有两个不相等的负实数根，
则满足，解得
又由（1）知甲为真时，
所以甲、乙至少有一个为真命题时，可得．
19．（1），
根据正弦定理，即，
因为，得，由，
整理得，，即，，
或，得或（舍去），即
（2），
根据余弦定理，得，
则，，
又，则或
20．（1）令，则，，
为偶函数，下面证明：
的定义域为R，关于原点对称；
，则，，所以为偶函数
在上的单调递增，下面利用定义法证明：
，，，
因为，，，所以，，
所以，，则
即，所以在上的单调递增．
（2）由题意知，，恒成立，
因为，在上的单调递增，且为偶函数，
所以当时，，，
即在恒成立，所以．
令，与在上的单调性相同，
所以，，
所以．
21．（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，
所以浓度可以表示为：当时，；
当时，
当时，，得，所以此时
当时，，得，所以此时
综上，
若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天
（2）设从第一次喷洒起，经过天，
浓度
因为，则，且，则
所以
当且仅当，即时，等号成立．
此时浓度的最小值为
令，解得，
所以m的最小值约为1.6
22．（1），定义域为
．
因为，所以恒成立，只有
所以在上单调递增，
又
所以当时，的零点个数为1．
（2）不妨设，由，得，
则，令，即，
要证，只需证，只要证，
即证
即证，
由（1）中可知，当，，
所以lnt成立
故．
（其他方法求解，酌情给分．）