浙江省杭州市2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

杭州市2022-2023学年高三上学期期中考试
数学试题卷
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数，则等于（ ）．
A． B．0 C． D．
3．已知，，则在上投影向量为（ ）．
A． B． C． D．
4．正整数2160的不同正因数的个数为（ ）．
A．20 B．28 C．40 D．50
5．“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，大量天然气泄漏使得超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P（单位：）与时间t（单位：天）间的关系为：，其中表示初始含量，k为正常数．令为之间海水稀释效率，其中，分别表示当时间为和时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，按照5天一期进行记录，共分为四期，即，，，分别记为Ⅰ期，Ⅱ期，Ⅲ期，Ⅳ期，则下列哪个时期的稀释效率最高（ ）．
A．Ⅰ期 B．Ⅲ期 C．Ⅲ期 D．Ⅳ期
6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
7．设函数，设是公差为的等差数列，，则（ ）．
A．0 B． C． D．
8．已知实数x，y满足：，，则的值是（ ）．
A．1 B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，连接点A和坐标原点O的直线交抛物线准线于点D，则（ ）．
A．F坐标为 B．最小值为4
C．一定平行于x轴 D．可能为直角三角形
10．四边形是边长为2的正方形，E、F分别为、的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使B、C、D三点重合于点P，得到三棱锥，则下列结论中正确的有（ ）．
A．三棱锥的体积为
B．面面
C．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥中有三组对棱相互垂直
D．若M为的中点，则过点M的平面截三棱锥的外接球，所得截面的面积的最小值为
11．已知函数（ ）．
A．若在区间上单调，则
B．将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为
C．函数在区间上恰有三个极值点，则
D．关于x的方程在上有两个不同的解，则
12．已知和都是定义在R上的函数，则（ ）．
A．若，则的图象关于点中心对称
B．函数与的图象关于关于直线对称
C．若是不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则
D．若方程有实数解，则不可能是
非选择题部分
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的二项展开式中的系数为_____________．
14．已知圆上恰有2个点到直线距离为2，当r为正整数时，写出一个可能的r的值为_____________．
15．已知，过点可作曲线的三条切线，则t的范围是________．
16．已知双曲线，过点的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得为定值，则的值为_____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列中，，成公差为1的等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
18．锐角中，已知．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若，求的面积S的取值范围．
19．三棱台中，为正三角形，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若二面角的平面角大小为，且在线段上有点D使得平面平分四面体的体积，求与面所成角的正弦值．
20．某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲 30天 20天 40天 10天
乙 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（Ⅰ）分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
（Ⅱ）记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：．
21．如图，已知M是椭圆的左顶点，过M作两条射线，分别交椭圆于点A，B，交直线于点C，D．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）设，，，，当，求证：直线过定点．
22．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若，函数，且，，，求的取值范围．
杭州市2022-2023学年高三上学期期中考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A B D B
8．解：即，
令，则，
由显然为增函数可知，
从而．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 BC BCD BCD ACD
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．写出4，5，6中任何一个 15．
16．
解：设，，，，
则，，，
，，
要使得为常数，则，
可得，，或，，，
故．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）易知成等差数列，即，从而．
（Ⅱ）令，则，
可知，即．
18．解：（Ⅰ）易知，
可知．
（Ⅱ）
由锐角三角形知可得，从而．
19．（Ⅰ）证明：如图19-1，取中点M，
∵由为正三角形，∴．
∵且，∴为平行四边形，
∴．
∵，∴面，∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知二面角的平面角即，作，
∵面，面，∴面面．
∵面面，∴面．
以O为原点，为z轴，为x轴，平行于为y轴，
则，，，，，
故，可知，
设面法向量，
则，即，取，
由平面平分四面体的体积可知D为中点，
即，，
设与面所成线面角为，从而．
（Ⅱ）（方法2）如图19-2，
∵平面平分四面体的体积，
∴D为的中点，∴，
设与交于点N，则N为的中点，∴平面，
∵，由（Ⅰ）知，为的二面角的平面角，
∴，∴为正三角形，∴，
在中，，，
∴，，
设点D到平面的距离为h，
由得：，∴，
设与平面所成的角为，则．
20．解：（Ⅰ）设事件C为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，
事件D为“乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，
因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，．
（Ⅱ）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1，
乙员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2，
记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2，
所以，，
所以X的分布列为：
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望．
（Ⅲ）由题知，
即，即，
即，
即，即，
即．
21．解：（Ⅰ）由可得：，
即，
即，
当且仅当取得．
（Ⅱ）设，代入可得：，
可得，，
设可得：，同理．
从而，
即，即，从而直线过定点．
22．解：（Ⅰ）易知，
当时，，在上递减；
当时，有正根，
且易知当时，递增，
当时，递减；
综上所述：当时，在上递减；
当时，在上递增，在上递减．
（Ⅱ）由题知：，不妨设，
令，则，
令，则，
易知在上递增，上递减，
，故，即在递减，
从而，即，
令，即在递减，在上恒成立，
可知，
由（Ⅰ）可知有，
故．