湖北省十堰市县区普通高中联合体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 湖北省十堰市县区普通高中联合体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-11 04:00:32 | ||
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文档简介
十堰市县区普通高中联合体2022-2023学年高三上学期期中联考
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．在中，点D在边AB上，．记，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题p：，，若命题p是假命题，则
C．“”是“，的夹角为钝角”的充分不必要条件
D．中，是的充要条件
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸．若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（ ）（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）
A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸
6．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
7．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面BCD，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分。全部选对给5分，部分选对给2分，有错选或不选，0分）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
D．若随机变量，且，则
10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
11．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为
B．若直线MN过点F，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为
12．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．展开式中，常数项的值为__________．
14．写出一个数列的通项公式，使得该数列的前n项和在时取最大值，__________．
15．已知双曲线的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线．若椭圆经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则__________．
16．对于函数现有下列结论：
①任取，，都有；
②函数在上单调递增；
③函数有3个零点；
④若关于x的方程恰有3个不同的实根，，，则．
其中正确结论的序号为__________．（写出所有正确命题的序号）
四、解答题（共70分）
17．已知数列是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．在中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量，向量，且．
（1）求的值；
（2）若a，b，c成等比数列，求的值．
19．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
20．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
（2）当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
21．设椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
22．设函数．（e为自然常数）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
十堰市县区普通高中联合体2022-2023学年高三上学期期中联考数学参考答案
1．C
【详解】因为，，所以．
故选：C．
2．A
【详解】
因为复数的实部与虚部相等，
所以，解得
故实数a的值为．
故选：A
3．B
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4．D
【详解】对于A，由含量词的命题的否定知，命题“，”的否定是“，”，故不正确；
对于B，因为命题p是假命题，所以：，为真命题，
当时，不等式为恒成立；
当时，需满足，解得，
综上所述，a的取值范围为，故不正确；
对于C，“，的夹角为钝角”的充要条件是“且不平行于”，所以“”是“，的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；
对于D，若，由三角形中“大边对大角”可知，，由正弦定理可知，；
若，由正弦定理可知，，从而，
故“”是“”的充要条件，故正确，
故选：D
5．A
【详解】作出圆台的轴截面如图所示：
由题意知，寸，寸，寸，寸
即G是OF的中点
∴GE为梯形OCBF的中位线
∴寸
即积水的上底面半径为10寸
∴盆中积水的体积为（立方寸）
又盆口的面积为（平方寸）
平均降雨量是寸，即平均降雨量是3寸
本题正确选项：A
6．B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
7．D
【详解】如图所示，因为平面BCD，且BC，平面BCD，
所以，，
又因为，，可得，
由，所以为边长为2的等边三角形，
设外接球的球心为O，半径为R，外接圆的圆心为，连接，，BO，
则平面BCD，则，
在正，可得，
在直角中，可得，
所以外接球的表面积为．
故选：D．
8．C
【详解】由对数的运算法则得，．
令函数，则，即函数在R是单调递减．
∴
令函数，，则，
令函数，，则，
∵在上单调递减，且，，
∴，，所以在上单调递增，在单调递减．
又∵，，∴在恒成立
∴，即在上单调递增
∴，则
当时，．
又∵在上单调递增，∴
∴，∴
故选：C
9．BC
【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确；
对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
所以，所以B正确；
对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以，
即，所以C正确；
对于选项D，因为，且，所以，即，
所以，所以D不正确．
故选：BC．
10．BC
【详解】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
t分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，，又高度相等，则，关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则h在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选：BC．
11．BCD
【详解】易知点F的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，，选项B正确；
若，则MN过点F，则的最小值即抛物线通径的长，
为2p，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点M，N，P分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段MN的中点P到x轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
12．ACD
【详解】因为若，为奇函数，
所以，
令得，，即，，A选项正确；
所以，，即，
所以，函数关于对称，对称，
所以，，即
所以，，
所以，，即函数为周期函数，周期为2，
所以，，，故D选项正确，B选项错误；
对于C选项，由可得，其中，为常数，
所以，所以，
故令得，即，故C选项正确．
故选：ACD．
13．【详解】
令，，故的展开式中的常数项为
故答案为84
14．【详解】对于等差数列，其前n项和，
由二次函数的性质可知，数列前n项和在或时取到最大值，
故答案为：（答案不唯一）
15．【详解】因为OA为双曲线的渐近线，所以，则
所以，，则
因为，所以椭圆N的半焦距
设椭圆N的左焦点为，则，连接
由椭圆的定义可得
即，
解得
故答案为：
16．【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
①中，当时，函数的最大值为，最小值为，
所以任取，，都有恒成立，所以是正确的；
②中，函数在区间上的单调性和在上的单调性相同，
则函数在区间不单调，所以不正确；
③中，如图所示，函数与函数的图象有3个不同的交点，
可得函数有3个零点，所以是正确的；
④中，若关于x的方程恰有3个不同的实根，，，
不妨设，则，，所以，所以是正确的．
17．解：（1）设数列的公差为d，
依题意可得：，
解得，
故有，
故．
（2）由（1）中所求可得：，
故
即数列的前n项和
18．解：（1）因为，所以．
由正弦定理，得，
所以，所以．
因为，所以，所以．
（2）因为a，b，c成等比数列，所以．
由正弦定理，得．
因为，，所以．
又
．
故．
19．（1）证明：取AB的中点为K，连接MK，NK，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，，则，
而平面，平面，故平面，
而，，则，同理可得平面，
而，NK，平面MKN，
故平面平面，而平面MKN，故平面，
（2）因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
又，而，，
故平面MNK，而平面MNK，故，
所以，而，，故平面ABC，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，B，
设平面BNM的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线AB与平面BNM所成的角为，则
．
20．解：（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
故．
所以．
21．解：（1）由已知可得，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）设直线BP的方程为（且），
直线DP的方程为（且），
则直线DP与x轴的交点为，
直线AD的方程为，则直线BP与直线AD的交点为，
将代入方程，得，
则点P的横坐标为，点P的纵坐标为，
将点P的坐标代入直线BP的方程，
整理得，
∵，∴，
由M，N点坐标可得直线MN的方程为：
，
即，
则直线MN过定点．
22．解：（1）当时，，定义域为，
，令，解得：，令，解得：，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）在区间上有意义，故在上恒成立，可得，
依题意可得：在上恒成立，
设，
，易知在上单调递增，故，
故在上单调递减，最小值为，
故只需，设，其中，
由可得：在上为减函数，
又，故．
综上所述：a的取值范围为．
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
3．在中，点D在边AB上，．记，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题p：，，若命题p是假命题，则
C．“”是“，的夹角为钝角”的充分不必要条件
D．中，是的充要条件
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l尺2寸，盆深1尺8寸．若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（ ）（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）
A．3寸 B．4寸 C．5寸 D．6寸
6．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
7．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面BCD，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分。全部选对给5分，部分选对给2分，有错选或不选，0分）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B．若随机变量服从正态分布，，则
C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
D．若随机变量，且，则
10．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ）
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则
C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30
D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
11．已知抛物线的焦点为F，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点F的坐标为
B．若直线MN过点F，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段MN的中点P到x轴的距离为
12．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每题5分，共20分）
13．展开式中，常数项的值为__________．
14．写出一个数列的通项公式，使得该数列的前n项和在时取最大值，__________．
15．已知双曲线的渐近线是边长为1的菱形OABC的边OA，OC所在直线．若椭圆经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则__________．
16．对于函数现有下列结论：
①任取，，都有；
②函数在上单调递增；
③函数有3个零点；
④若关于x的方程恰有3个不同的实根，，，则．
其中正确结论的序号为__________．（写出所有正确命题的序号）
四、解答题（共70分）
17．已知数列是等差数列，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．在中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边．若向量，向量，且．
（1）求的值；
（2）若a，b，c成等比数列，求的值．
19．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
20．为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；
（2）当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．
21．设椭圆的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，点P是椭圆C上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某定点，并求出该定点．
22．设函数．（e为自然常数）
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
十堰市县区普通高中联合体2022-2023学年高三上学期期中联考数学参考答案
1．C
【详解】因为，，所以．
故选：C．
2．A
【详解】
因为复数的实部与虚部相等，
所以，解得
故实数a的值为．
故选：A
3．B
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4．D
【详解】对于A，由含量词的命题的否定知，命题“，”的否定是“，”，故不正确；
对于B，因为命题p是假命题，所以：，为真命题，
当时，不等式为恒成立；
当时，需满足，解得，
综上所述，a的取值范围为，故不正确；
对于C，“，的夹角为钝角”的充要条件是“且不平行于”，所以“”是“，的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；
对于D，若，由三角形中“大边对大角”可知，，由正弦定理可知，；
若，由正弦定理可知，，从而，
故“”是“”的充要条件，故正确，
故选：D
5．A
【详解】作出圆台的轴截面如图所示：
由题意知，寸，寸，寸，寸
即G是OF的中点
∴GE为梯形OCBF的中位线
∴寸
即积水的上底面半径为10寸
∴盆中积水的体积为（立方寸）
又盆口的面积为（平方寸）
平均降雨量是寸，即平均降雨量是3寸
本题正确选项：A
6．B
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
7．D
【详解】如图所示，因为平面BCD，且BC，平面BCD，
所以，，
又因为，，可得，
由，所以为边长为2的等边三角形，
设外接球的球心为O，半径为R，外接圆的圆心为，连接，，BO，
则平面BCD，则，
在正，可得，
在直角中，可得，
所以外接球的表面积为．
故选：D．
8．C
【详解】由对数的运算法则得，．
令函数，则，即函数在R是单调递减．
∴
令函数，，则，
令函数，，则，
∵在上单调递减，且，，
∴，，所以在上单调递增，在单调递减．
又∵，，∴在恒成立
∴，即在上单调递增
∴，则
当时，．
又∵在上单调递增，∴
∴，∴
故选：C
9．BC
【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确；
对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
所以，所以B正确；
对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以，
即，所以C正确；
对于选项D，因为，且，所以，即，
所以，所以D不正确．
故选：BC．
10．BC
【详解】由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；
t分钟后，转过的角度为，则，B正确；
周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，
则，，又高度相等，则，关于对称，则，则；
令，解得，令，解得，
则h在上单调递增，在上单调递减，当时，，
当时，，所以在只有一个解；
故选：BC．
11．BCD
【详解】易知点F的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，，选项B正确；
若，则MN过点F，则的最小值即抛物线通径的长，
为2p，即，选项C正确，
抛物线的焦点为，准线方程为，
过点M，N，P分别作准线的垂线，，垂足分别为，，，
所以，．
所以，
所以线段，
所以线段MN的中点P到x轴的距离为，选项D正确．
故选：BCD
12．ACD
【详解】因为若，为奇函数，
所以，
令得，，即，，A选项正确；
所以，，即，
所以，函数关于对称，对称，
所以，，即
所以，，
所以，，即函数为周期函数，周期为2，
所以，，，故D选项正确，B选项错误；
对于C选项，由可得，其中，为常数，
所以，所以，
故令得，即，故C选项正确．
故选：ACD．
13．【详解】
令，，故的展开式中的常数项为
故答案为84
14．【详解】对于等差数列，其前n项和，
由二次函数的性质可知，数列前n项和在或时取到最大值，
故答案为：（答案不唯一）
15．【详解】因为OA为双曲线的渐近线，所以，则
所以，，则
因为，所以椭圆N的半焦距
设椭圆N的左焦点为，则，连接
由椭圆的定义可得
即，
解得
故答案为：
16．【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，
①中，当时，函数的最大值为，最小值为，
所以任取，，都有恒成立，所以是正确的；
②中，函数在区间上的单调性和在上的单调性相同，
则函数在区间不单调，所以不正确；
③中，如图所示，函数与函数的图象有3个不同的交点，
可得函数有3个零点，所以是正确的；
④中，若关于x的方程恰有3个不同的实根，，，
不妨设，则，，所以，所以是正确的．
17．解：（1）设数列的公差为d，
依题意可得：，
解得，
故有，
故．
（2）由（1）中所求可得：，
故
即数列的前n项和
18．解：（1）因为，所以．
由正弦定理，得，
所以，所以．
因为，所以，所以．
（2）因为a，b，c成等比数列，所以．
由正弦定理，得．
因为，，所以．
又
．
故．
19．（1）证明：取AB的中点为K，连接MK，NK，
由三棱柱可得四边形为平行四边形，
而，，则，
而平面，平面，故平面，
而，，则，同理可得平面，
而，NK，平面MKN，
故平面平面，而平面MKN，故平面，
（2）因为侧面为正方形，故，
而平面，平面平面，
平面平面，故平面，
因为，故平面，
因为平面，故，
又，而，，
故平面MNK，而平面MNK，故，
所以，而，，故平面ABC，
故可建立如所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，B，
设平面BNM的法向量为，
则，从而，取，则，
设直线AB与平面BNM所成的角为，则
．
20．解：（1）X可能取值为2，3．
；
．
故，
即，则当时，取得最大值．
（2）当时，双方前两天的比分为2∶0或0∶2的概率均为；
比分为2∶1或1∶2的概率均为．
则或．
即获胜方两天均为2∶0获胜，
故；
即获胜方前两天的比分为2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加赛，
故．
所以．
21．解：（1）由已知可得，解得，
故椭圆C的方程为；
（2）设直线BP的方程为（且），
直线DP的方程为（且），
则直线DP与x轴的交点为，
直线AD的方程为，则直线BP与直线AD的交点为，
将代入方程，得，
则点P的横坐标为，点P的纵坐标为，
将点P的坐标代入直线BP的方程，
整理得，
∵，∴，
由M，N点坐标可得直线MN的方程为：
，
即，
则直线MN过定点．
22．解：（1）当时，，定义域为，
，令，解得：，令，解得：，故此时的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）在区间上有意义，故在上恒成立，可得，
依题意可得：在上恒成立，
设，
，易知在上单调递增，故，
故在上单调递减，最小值为，
故只需，设，其中，
由可得：在上为减函数，
又，故．
综上所述：a的取值范围为．
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