4.3.2等比数列的前n项和公式（教案）

第四章 数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
教学设计
一、教学目标
1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；
2. 掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.
二、教学重难点
1、教学重点
等比数列的前n项和公式.
2、教学难点
等比数列的前n项和公式的推导及应用.
三、教学过程
（一）新课导入
教师：前面我们学习了等差数列的前n项和，那么如何求等比数列的前n项和呢？
学生：思考
（二）探索新知
探究一：等比数列的前n项和公式
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.
根据等比数列的通项公式，上式可写成.①
用公比q乘①的两边，可得.②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即.
此方法为错位相减法.
因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.
因为，所以上述公式还可以写成.
例1 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n.
解：（1）因为，，
所以.
（2）由，，可得，即.
又由，得，
所以.
（3）把，，代入，
得.
整理，得.解得.
探究二：等比数列的前n项和的性质
（1）当q=1时，，当时，.
（2）.
（3）设与分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n，则，若项数为2n+1，则.
（4）当时，连续m项的和（）仍成等比数列，公比为，注意：连续m项的和必须非零才能成立.
例2 已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当时，，
，，
所以，，成等比数列，公比为1.
当时，，
，
.
所以.
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
（三）课堂练习
1.已知数列的前n项和为，若，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：当时，因为，所以.
当时，，
所以，即，
所以数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列，
所以，则.故选A.
2.已知是等比数列的前n项和,且公比,其中,且满足,则下列说法错误的是( )
A.数列的公比为2 B.
C. D.
答案：C
解析：根据题意知等比数列的公比为,记,则,所以解得故,则, ,所以,选项C错误,故选C.
3.若数列的前n项和为，且，则等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：当时，，则；当时，，则，所以，则数列是首项为1，公比为4的等比数列，则.
故选B.
4.已知首项为2的等比数列的前n项和为，且，，则的值为( )
A.6 B.14 C.30 D.62
答案：B
解析：设数列的公比为q，若，则，与题中条件矛盾，故.，，则.由在定义域上单调递增，在上单调递减，结合图象可得有唯一解，，故选B.
（三）小结作业
小结：
本节课我们主要学习了哪些内容
1.等比数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和的性质
四、板书设计
4.3.2 等比数列的前n项和公式
1.等比数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和的性质
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