5.1.1 任意角（教案）

第五章 三角函数
5.1.1 任意角
教学设计
一、教学目标
1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.
3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题.
二、教学重难点
1、教学重点
终边相同的角的表示.
2、教学难点
终边相同的角的含义及其表示方法.
三、教学过程
1、新课导入
现实生活中随处可见超出范围的角.例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出范围的角，而且旋转的方向也不相同，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广，那么这节课我们就来学习一下任意角的相关知识.
2、探索新知
知识点1 角的分类、任意角
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.
这样，就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角.
知识点2 相等角、角的加减
（1）如果角和角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
（2）设，是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
（3）把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.于是有.
知识点3 象限角
在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
知识点4 终边相同的角
一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
例题点拨
例1 在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
解：，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
解：在范围内，终边在y轴上的角有两个，即，角.
因此，所有与角终边相同的角构成集合
，
而所有与角终边相同的角构成集合
，
于是，终边在y轴上的角的集合
.
例3 写出终边在直线上的角的集合S，S中满足不等式的元素有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与x轴的夹角是，在范围内，终边在直线上的角有两个：，.
因此，终边在直线上的角的集合
.
S中适合不等式的元素有，，，，，.
3、课堂练习
1.如果角与的终边相同，角与的终边相同，那么与的关系是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：由题意知，，
.故选D.
2.下列角的终边位于第二象限的是( )
A.450° B.860° C.1060° D.1260°
答案：B
解析：，终边位于第一象限；
，终边位于第二象限；
，终边位于第四象限；
，终边位于x轴非正半轴.故选B.
3.有下列结论：
①小于90°的角是锐角；
②30°与-30°角的终边方向相反；
③经过1小时，时针转过了30°；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中不正确的结论为___________（填序号）.
答案：①②③④
解析：①小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故①不正确；②30°与-30°角的夹角为60°，其终边方向不相反，故②不正确；③时针按顺时针方向旋转，经过1小时，时针转过了-30°，故③不正确；④0°小于180°，但0°角既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.
4、小结作业
小结：本节课学习了任意角、象限角的概念，用集合表示象限角以及终边相同的角的含义及其表示方法.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
5.1.1 任意角
1.角的分类：①正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；③零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.
2.任意角：包括正角、负角和零角.
3.相等角、角的加减：
（1）如果角和角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
（2）设，是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
（3）把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.于是有.
4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
5.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
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