高中数学人教A版（2019）必修第一册5.1.1 任意角（学案）（有答案）

第五章 三角函数
5.1.1 任意角
学案
一、学习目标
1.了解任意角的概念，能正确区分正角、负角和零角.
2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.
3.掌握终边相同的角的含义及其表示方法，并能解决有关问题.
二、知识归纳
1.角的分类：①正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；③零角：如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫零角，零角的始边和终边重合.
2.任意角：包括正角、负角和零角.
3.相等角、角的加减：
（1）如果角和角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
（2）设，是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
（3）把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为.于是有.
4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.
5.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
三、习题检测
1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A.120° B. C.240° D.
2.如果角与的终边相同，角与的终边相同，那么与的关系是( )
A. B.
C. D.
3.设集合{为锐角}，{为小于的角}，{为第一象限角}，{为小于的正角}，则下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
4.若，则终边的位置关系是( )
A.重合 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
5.如图，终边落在阴影部分的角的集合是( )
A.
B.
C.
D.
6.下列角的终边位于第二象限的是( )
A.450° B.860° C.1060° D.1260°
7.若角满足，且角与有相同的终边，则角____________.
8.已知，且与120°角终边相同，则___________.
9.有下列结论：
①小于90°的角是锐角；
②30°与-30°角的终边方向相反；
③经过1小时，时针转过了30°；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角.
其中不正确的结论为___________（填序号）.
10.已知集合.
（1）该集合中有几种终边不相同的角？
（2）该集合中有几个在范围内的角？
（3）写出该集合中的第三象限角.
答案以及解析
1.答案：D
解析：按顺时针方向旋转而成的角是负角，排除A，C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.
2.答案：D
解析：由题意知，，
.故选D.
3.答案：D
解析：集合A中满足；集合B中满足；集合C中满足；集合D中满足.故.故选D.
4.答案：C
解析：由可知α与θ是终边相同的角，由可知β与是终边相同的角.因为θ与两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称.故选C.
5.答案：C
解析：阴影部分的角从-45°到90°+30°=120°，再加上360°的整数倍，即，.故选C.
6.答案：B
解析：，终边位于第一象限；
，终边位于第二象限；
，终边位于第四象限；
，终边位于x轴非正半轴.故选B.
7.答案：216°或288°
解析：角与有相同的终边，，，又，或.
8.答案：-960°
解析：与120°角的终边相同，
，.
，
得.
又，，
.
故答案为-960°.
9.答案：①②③④
解析：①小于90°的角可以是负角，负角不是锐角，故①不正确；②30°与-30°角的夹角为60°，其终边方向不相反，故②不正确；③时针按顺时针方向旋转，经过1小时，时针转过了-30°，故③不正确；④0°小于180°，但0°角既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确.
10.解析：（1）由，，，，知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.
（2）由，得.
又，故，-3，-2，-1，0，1，2，3.
所以给定的角的集合中，在范围内的角共有8个.
（3）给定的角的集合中，第三象限角为.
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