3.2.1双曲线及其标准方程-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册）
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| 名称 | 3.2.1双曲线及其标准方程-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-14 11:09:08 | ||
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文档简介
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3.2.1 双曲线及其标准方程
【考点梳理】
考点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
答案 (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
考点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-35.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-35.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\WORD\\2-35.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-36.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-36.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\WORD\\2-36.TIF" \* MERGEFORMATINET
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【题型归纳】
题型一：双曲线的定义的应用
1．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若 ，则（ ）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
2．已知动圆M与圆外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
4．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：求双曲线的标准方程
6．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：双曲线在生活中的应用
9．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
11．如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【双基达标】
12．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A． B． C． D．
13．双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
14．双曲线的左 右焦点分别是 ，过的弦AB与其右支交于A B两点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
16．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
17．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
18．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（ ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
20．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知双曲线的渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
22．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
24．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．与圆及圆都外切的圆P的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条射线上 D．双曲线的一支上
【高分突破】
一、单选题
26．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
27．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
28．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（ ）．
A．
B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
29．设点在双曲线上，若 为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
31．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
33．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
34．设，分别是双曲线的左 右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
35．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
36．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是（ ）
A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆
B．当θ＝时，方程不表示任何图形
C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线
38．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
39．关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
40．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
三、填空题
41．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
42．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.
43．如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
44．P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
45．若动点满足，则点的轨迹方程为___________.
46．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
四、解答题
47．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
48．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
49．年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路、送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
50．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
51．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.
参考答案
1．D
【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可.
【详解】解：由双曲线方程得
由双曲线的定义得：，又，解得：或
又点P在该双曲线上时要满足：或者
所以.
故选：D.
2．A
【分析】画出图形，得到，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，进而求出轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，
圆与圆：的半径相等，均为，
即，
所以
，
故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，其中，，
故，，则，
所以轨迹方程为,
故选：A
3．B
【分析】由判断出正确答案.
【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.
如图所示，在线段的延长线上.
故选：B
4．A
【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可
【详解】方程表示双曲线等价于，即或，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
5．A
【分析】由题知，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为方程表示双曲线，
所以，解得．
故选：A
6．C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
故选：C
7．D
【分析】不妨设A在第一象限，由条件可设，，根据双曲线的对称性及条件可得，代入圆的方程，可求，由此确定双曲线方程.
【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，
不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得，又，
∴，
将代入，可得，∴，
∴双曲线的方程为1，
故选：D．
8．C
【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得，，再由余弦定理求得，即可求得双曲线方程.
【详解】根据双曲线的定义，有①，②，
由于为等边三角形，因此，
由①＋②，得，则，，
又因为，所以，即，解得，
则，所以双曲线的方程为．
故选：C.
9．D
【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小.
【详解】由得：，，．
设，则．
所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以．
故选：D．
10．A
【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【详解】如图，
以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则
设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，
由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，
依题意得
故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即
故 .
故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．
故选：A.
11．C
【分析】分析可设、在双曲线上，将这两点的坐标代入双曲线方程，结合离心率求、、m，进而可求得唐·金筐宝钿团花纹金杯高.
【详解】设金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的倍．
所以，，，且、都在双曲线上，离心率，
所以，，解得，则杯高为.
故选：C．
12．B
【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.
【详解】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面积为.
故选：B.
13．A
【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，
又直线、倾斜角之差为，所以，
根据余弦定理可得，
整理得①，
根据点P在双曲线上可得，
则②，
①-②得，，
则面积为.
故选：A.
14．C
【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长即得．
【详解】由题可得，
则的周长为.
故选：C．
15．D
【分析】根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
16．A
【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
17．C
【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.
【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
18．B
【分析】设,所求式表示,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最小值.
【详解】，
设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,
双曲线的实轴,,
,
,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.
故选：B
19．C
【分析】由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长.
【详解】由双曲线的定义得：①，②，
两式相加得：，
即，
所以，
故的周长为.
故选：C
20．C
【分析】由双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
21．C
【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程.
【详解】圆的圆心为，半径为.
由题意双曲线的渐近线的方程为，则；
因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以，，
所以；
又，所以双曲线的方程为.
故选：C.
22．C
【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.
【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
23．D
【分析】根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解.
【详解】表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
24．C
【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
25．D
【分析】设出圆的半径，根据圆与圆的位置关系，列出等量关系，整理化简结合双曲线的定义，即可判断和选择.
【详解】设圆的半径为，
又圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
根据题意可得：，
则，
根据双曲线定义可知，其表示焦点为的双曲线的一支.
故选：D.
26．D
【分析】根据椭圆的焦点和双曲线的焦点性质进行求解即可.
【详解】因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
27．B
【分析】根据双曲线标准方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.
【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，
则为或的充分不必要条件，
故选：B.
28．A
【分析】对于A：先利用双曲线的标准方程得到，再利用椭圆中的进行判定；对于B：利用切线长性质和双曲线的定义得到，再结合进行求解；对于C：先利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式进行求解；对于D：利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程.
【详解】对于A：由可得，
所以，即选项A错误；
对于B：设的内切圆的圆心为I，
且圆与边、、相切于N、M、K，
可得，，，
又因为，
所以，
又，解得，．
可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；
对于C：在椭圆中，，，
则．
由，得 ，解得a＝3．
则的离心率，即选项C正确；
对于D：因为，，
则，．
若，则．
又c＝2，，解得，．
则椭圆的方程为，即选项D正确．
故选：A.
29．A
【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．
【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，
的周长为：.
故选：A.
30．D
【分析】根据的周长为18，可得，根据双曲线的定义可知，，两式相加求解．
【详解】由题意知．
又，
所以．
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以．
故选：D
31．D
【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【详解】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
32．B
【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
33．A
【分析】求得两圆的圆心和半径，则双曲线的左右焦点为，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，
∴
，
显然其最小值为，.
故选：A.
34．C
【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
35．A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
36．A
【解析】设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
37．BC
【分析】利用椭圆、双曲线方程的标准形式逐一判断即可.
【详解】当0＜θ＜时，sinθ＞0，cosθ＞0，
但当θ＝时，sinθ＝cosθ＞0表示圆，故A错误；
当θ＝时，cosθ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；
当＜θ＜π时，sinθ＞0，cosθ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，
方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，
故选：BC.
38．ACD
【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可
【详解】由为3与5的等差中项，得，即，
由为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或．
其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
故选:ACD．
39．BC
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.
【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，无解，选项A错误；
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，
则，解得，选项B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，所以或，选项C正确；
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，
则，，
则或，
无解，选项D错误.
故选：BC.
40．AD
【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
41．
【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
42．7或
【分析】先确定，再根据焦点位置分类讨论，结合双曲线方程列等量关系，解得结果.
【详解】依题意可知，
当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；
当双曲线的焦点在y轴上时，，所以
综上，或.
故答案为：7或
【点睛】本题考查双曲线方程与几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
43．
【分析】设双曲线的右焦点为，根据对称性得到，，利用双曲线的定义，可得.
【详解】设双曲线的右焦点为，因为双曲线上的点与，关于轴对称，
所以，，
又双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义可得
.
故答案为：.
44．
【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.
【详解】由题意可知，，，
所以，
设，
则，
即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：.
45．
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设，
由于动点的轨迹方程为，
则，故点到定点与到定点的距离差为6，
则动点的轨迹是以为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支，
由于，，则，
故的轨迹的标准方程为：.
故答案为：.
46．
【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点的轨迹方程.
【详解】延长，交于，因为，，
，所以，所以，
所以，
因为M是双曲线C右支上一点，所以，
又因为P是的中点，O是的中点，所以，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
47．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
48．（1）C：；D：；（2）①且；
②见解析.
【分析】（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；
②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.
【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：
因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
【点睛】本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.
49．以、为焦点的双曲线的右支的一部分，(，).
【解析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立坐标系即可求出方程.
【详解】矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，
第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设为界线上的任一点，则，，
∴界线是以、为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为(，)，
∵，，∴，
，故双曲线的标准方程为，
注意到点的坐标为，故的最大值为，此时，
故界线的曲线方程为(，).
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是得出，能根据双曲线定义判断界线是双曲线的一部分.
50．（1）；（2）.
【分析】（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.
【详解】（1）直线过x轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，解得，
即有双曲线的方程为.
（2）设直线，
代入，可得，
设，则，
中点为，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由，解得，
又，解得，
综上可得，，即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
51．（1）；（2）①；②或者.
【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.
（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.
②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.
【详解】解：（1）由题意，且解得，
所以双曲线的标准方程为
（2）①由对称性可设，且，则，
因为点在双曲线上，所以，所以，所以，
当时，为直角，
当时，为钝角.
因此，最小时，.
②设过点的动直线为：
设联立得，
所以，由且，解得且，
，即即，
化简得，
所以，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
如果那么此时不在双曲线上，舍去.
因此从而代入解得.
此时在双曲线上.
综上，或者.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.
试卷第1页，共3页
3.2.1 双曲线及其标准方程
【考点梳理】
考点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
思考 (1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？
(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？
答案 (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
(2)点M在双曲线的右支上．
考点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-35.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-35.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\WORD\\2-35.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-36.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-36.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\WORD\\2-36.TIF" \* MERGEFORMATINET
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【题型归纳】
题型一：双曲线的定义的应用
1．已知，分别是双曲线的左右焦点，点P在该双曲线上，若 ，则（ ）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
2．已知动圆M与圆外切，与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．在一个平面上，设、是两个定点，P是一个动点，且满足P到的距离与P到的距离差为，即，则动点P的轨迹是（ ）．
A．一条线段 B．一条射线 C．一个椭圆 D．双曲线的一支
4．“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若方程表示双曲线，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：求双曲线的标准方程
6．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，且，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，．若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：双曲线在生活中的应用
9．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（ ）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)
A．西偏北45°方向，距离340m B．东偏南45°方向，距离340m
C．西偏北45°方向，距离170m D．东偏南45°方向，距离170m
11．如图所示的为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．杯子整体可以近似看作是双曲线的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上杯口外直径为，下底座外直径为，杯身最细之处到上杯口的距离是到底座下边缘距离的2倍，若双曲线C的离心率为2，则唐·金筐宝钿团花纹金杯高是（ ）
A．4 B． C．6 D．
【双基达标】
12．设，是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C的右支上，当时，面积为（ ）．
A． B． C． D．
13．双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ）
A． B． C．32 D．42
14．双曲线的左 右焦点分别是 ，过的弦AB与其右支交于A B两点，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支交于，两点，线段的长为5，若，那么的周长是（ ）
A．16 B．18 C．21 D．26
16．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
17．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
18．设是双曲线的右支上的点，则代数式的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（ ）．
A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m
20．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知双曲线的渐近线均和圆相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
22．与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
24．已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
25．与圆及圆都外切的圆P的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条射线上 D．双曲线的一支上
【高分突破】
一、单选题
26．椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a等于（ ）
A． B． C．1 D．或1
27．已知，则“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
28．如图，、是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是、在第一象限的公共点，设的方程为，则下列命题中错误的是（ ）．
A．
B．的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若，则的离心率为
D．若，则椭圆方程为
29．设点在双曲线上，若 为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线，直线l过其上焦点，交双曲线上支于A，B两点，且，为双曲线下焦点，的周长为18，则m值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
31．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，点是双曲线右支上的动点，点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
32．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
33．过双曲线的右支上的一点分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则（ ）
A． B． C． D．
34．设，分别是双曲线的左 右焦点，是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A． B． C． D．
35．设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
36．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
37．设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是（ ）
A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆
B．当θ＝时，方程不表示任何图形
C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线
38．已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
39．关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A．焦点在轴上的双曲线 B．圆心为坐标原点的圆
C．焦点在轴上的双曲线 D．长轴长为的椭圆
40．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是
A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或
C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则
三、填空题
41．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
42．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.
43．如图，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则______．
44．P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
45．若动点满足，则点的轨迹方程为___________.
46．已知双曲线，、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，是的平分线，过作的垂线，垂足为，则点的轨迹方程为_______．
四、解答题
47．已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
48．已知椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，且D的离心率为.
（1）求C与D的方程；
（2）若，直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在.
①求m的取值范围.
②试问这直线PA，PB的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
49．年月日，四川汶川发生里氏级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路、送到矩形灾民区中去，若，，，，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路送药较近，而另一侧的点沿道路送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.
50．若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.
51．已知等轴双曲线C：(a>0，b>0)经过点(，).
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点B(0，1).
①过原点且斜率为k的直线与双曲线C交于E，F两点，求∠EBF最小时k的值；
②点A是C上一定点，过点B的动直线与双曲线C交于P，Q两点，为定值，求点A的坐标及实数的值.
参考答案
1．D
【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可.
【详解】解：由双曲线方程得
由双曲线的定义得：，又，解得：或
又点P在该双曲线上时要满足：或者
所以.
故选：D.
2．A
【分析】画出图形，得到，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，进而求出轨迹方程.
【详解】如图，由题意得：，
圆与圆：的半径相等，均为，
即，
所以
，
故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，其中，，
故，，则，
所以轨迹方程为,
故选：A
3．B
【分析】由判断出正确答案.
【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是一条射线.
如图所示，在线段的延长线上.
故选：B
4．A
【分析】方程表示双曲线等价于，求解判断即可
【详解】方程表示双曲线等价于，即或，
故“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
5．A
【分析】由题知，解不等式即可得答案.
【详解】解：因为方程表示双曲线，
所以，解得．
故选：A
6．C
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
故选：C
7．D
【分析】不妨设A在第一象限，由条件可设，，根据双曲线的对称性及条件可得，代入圆的方程，可求，由此确定双曲线方程.
【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，
不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得，又，
∴，
将代入，可得，∴，
∴双曲线的方程为1，
故选：D．
8．C
【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得，，再由余弦定理求得，即可求得双曲线方程.
【详解】根据双曲线的定义，有①，②，
由于为等边三角形，因此，
由①＋②，得，则，，
又因为，所以，即，解得，
则，所以双曲线的方程为．
故选：C.
9．D
【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小.
【详解】由得：，，．
设，则．
所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以．
故选：D．
10．A
【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.
【详解】如图，
以接报中心为原点，正东、正北方向为轴、轴正向，建立直角坐标系．设分别是西、东、北观测点，则
设为巨响为生点，由 同时听到巨响声，得，故在的垂直平分线上，的方程为，因点比点晚听到爆炸声，故，
由双曲线定义知点在以为焦点的双曲线左支上，
依题意得
故双曲线方程为，将 代入上式，得 ，即
故 .
故巨响发生在接报中心的西偏北距中心处．
故选：A.
11．C
【分析】分析可设、在双曲线上，将这两点的坐标代入双曲线方程，结合离心率求、、m，进而可求得唐·金筐宝钿团花纹金杯高.
【详解】设金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，杯身最细处到上杯口的距离是到下底座距离的倍．
所以，，，且、都在双曲线上，离心率，
所以，，解得，则杯高为.
故选：C．
12．B
【分析】利用双曲线的定义可得，又，进而即得.
【详解】∵双曲线，
∴，又点P在双曲线C的右支上，，
所以，，即，
又，
∴面积为.
故选：B.
13．A
【分析】根据已知条件求出焦距及，根据双曲线定义及余弦定理求出乘积，代入三角形面积公式即可求解.
【详解】根据、为双曲线的两焦点可得，
又直线、倾斜角之差为，所以，
根据余弦定理可得，
整理得①，
根据点P在双曲线上可得，
则②，
①-②得，，
则面积为.
故选：A.
14．C
【分析】利用双曲线的定义和三角形的周长即得．
【详解】由题可得，
则的周长为.
故选：C．
15．D
【分析】根据双曲线定义知，，，结合，从而计算出的周长的值.
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选：D
16．A
【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案
【详解】由，得，则，
所以左焦点为，右焦点，
则由双曲线的定义得，
因为点在双曲线的两支之间，
所以，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为9，
故选：A
17．C
【分析】根据题意求出a,b即可求得答案.
【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
18．B
【分析】设,所求式表示,利用双曲线的定义进行转化后，利用距离三角不等式即可求得最小值.
【详解】，
设,上式表示,由于双曲线的左焦点为,
双曲线的实轴,,
,
,当在的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以的最小值为.
故选：B
19．C
【分析】由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长.
【详解】由双曲线的定义得：①，②，
两式相加得：，
即，
所以，
故的周长为.
故选：C
20．C
【分析】由双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
21．C
【分析】先根据圆的方程求出圆心和半径，结合渐近线和圆相切以及焦点可求方程.
【详解】圆的圆心为，半径为.
由题意双曲线的渐近线的方程为，则；
因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，所以，，
所以；
又，所以双曲线的方程为.
故选：C.
22．C
【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的定义可求得的值，再由可求得的值，结合双曲线的焦点位置可求得双曲线的标准方程.
【详解】椭圆的焦点坐标为，设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，
，，，
因此，双曲线的方程为.
故选：C.
23．D
【分析】根据所给式子，满足双曲线线的定义，且为双曲线的右支，即可得解.
【详解】表示：
动点到两定点，的距离之差等于2，
而，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支．
故选：D
24．C
【分析】设双曲线的标准方程为，由双曲线的定义知，，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】设双曲线的标准方程为，半焦距为c，
则由题意可知，，即，故，
所以双曲线的标准方程为.
故选：C．
25．D
【分析】设出圆的半径，根据圆与圆的位置关系，列出等量关系，整理化简结合双曲线的定义，即可判断和选择.
【详解】设圆的半径为，
又圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径为，
根据题意可得：，
则，
根据双曲线定义可知，其表示焦点为的双曲线的一支.
故选：D.
26．D
【分析】根据椭圆的焦点和双曲线的焦点性质进行求解即可.
【详解】因为双曲线的焦点在横轴上，
所以由题意可得：，
故选：D
27．B
【分析】根据双曲线标准方程的定义，可得，再根据充分必要条件的集合关系，可得到答案.
【详解】由方程表示双曲线，可得，解得或，
则为或的充分不必要条件，
故选：B.
28．A
【分析】对于A：先利用双曲线的标准方程得到，再利用椭圆中的进行判定；对于B：利用切线长性质和双曲线的定义得到，再结合进行求解；对于C：先利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式进行求解；对于D：利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程.
【详解】对于A：由可得，
所以，即选项A错误；
对于B：设的内切圆的圆心为I，
且圆与边、、相切于N、M、K，
可得，，，
又因为，
所以，
又，解得，．
可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，即选项B正确；
对于C：在椭圆中，，，
则．
由，得 ，解得a＝3．
则的离心率，即选项C正确；
对于D：因为，，
则，．
若，则．
又c＝2，，解得，．
则椭圆的方程为，即选项D正确．
故选：A.
29．A
【分析】由双曲线方程求得焦距，然后由双曲线的定义和已知焦半径之比，求得，从而得三角形周长．
【详解】解：由题意知，由双曲线定义知，又，
的周长为：.
故选：A.
30．D
【分析】根据的周长为18，可得，根据双曲线的定义可知，，两式相加求解．
【详解】由题意知．
又，
所以．
根据双曲线的定义可知，
所以，
解得，所以．
故选：D
31．D
【分析】由已知可得，设，，由点差法可得，可得，可求，圆表示圆心为，半径为，，计算可求最小值．
【详解】由双曲线知渐近线方程为，
又双曲线与双曲线有相同的渐近线，
，，双曲线方程为，
设，，
，，
，
又弦的中点为，
，，设，
，解得，，解得，
所以双曲线的方程为，
由圆的方程可得，
圆心为，半径为，
．
当且仅当，，三点共线时取等号．
故选：D．
32．B
【分析】分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【详解】在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
33．A
【分析】求得两圆的圆心和半径，则双曲线的左右焦点为，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】设、是双曲线的左、右焦点，也是、的圆心，
∴
，
显然其最小值为，.
故选：A.
34．C
【分析】根据双曲线定义得到，，用余弦定理和面积公式求出答案.
【详解】设，，则由双曲线的定义可得：，所以，故，，又，故，故，所以的面积为.
故选：C.
35．A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
故选：A
36．A
【解析】设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
37．BC
【分析】利用椭圆、双曲线方程的标准形式逐一判断即可.
【详解】当0＜θ＜时，sinθ＞0，cosθ＞0，
但当θ＝时，sinθ＝cosθ＞0表示圆，故A错误；
当θ＝时，cosθ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；
当＜θ＜π时，sinθ＞0，cosθ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，
方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，
故选：BC.
38．ACD
【分析】由已知条件先求出的值，从而可得曲线C的方程，然后根据曲线方程分析判断即可
【详解】由为3与5的等差中项，得，即，
由为4与16的等比中项，得，即，
则曲线的方程为或．
其中表示焦点在轴的椭圆，此时它的离心率，故A正确，C正确；
其中表示焦点在轴的双曲线，焦距为，渐近线方程为，故B不正确，D正确．
故选:ACD．
39．BC
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.
【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，无解，选项A错误；
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，
则，解得，选项B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，所以或，选项C正确；
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，
则，，
则或，
无解，选项D错误.
故选：BC.
40．AD
【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.
【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；
若，方程即为，它表示圆，
综上，选AD.
【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.
41．
【分析】直接由定义判断出M的轨迹是双曲线，再由待定系数法求方程即可.
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
42．7或
【分析】先确定，再根据焦点位置分类讨论，结合双曲线方程列等量关系，解得结果.
【详解】依题意可知，
当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；
当双曲线的焦点在y轴上时，，所以
综上，或.
故答案为：7或
【点睛】本题考查双曲线方程与几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
43．
【分析】设双曲线的右焦点为，根据对称性得到，，利用双曲线的定义，可得.
【详解】设双曲线的右焦点为，因为双曲线上的点与，关于轴对称，
所以，，
又双曲线的实轴长为，根据双曲线的定义可得
.
故答案为：.
44．
【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.
【详解】由题意可知，，，
所以，
设，
则，
即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：.
45．
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设，
由于动点的轨迹方程为，
则，故点到定点与到定点的距离差为6，
则动点的轨迹是以为焦点，以6为实轴长的双曲线的右支，
由于，，则，
故的轨迹的标准方程为：.
故答案为：.
46．
【分析】延长，交于，可证得，结合题意易证得P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，即可求出点的轨迹方程.
【详解】延长，交于，因为，，
，所以，所以，
所以，
因为M是双曲线C右支上一点，所以，
又因为P是的中点，O是的中点，所以，
所以P的轨迹是以O为圆心，半径为2的圆的一部分，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
47．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
（1）
设双曲线C的方程为，
由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）
设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，
则，，
∴直线PA方程为，
令，则，同理N（0，），
由，可得
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
48．（1）C：；D：；（2）①且；
②见解析.
【分析】（1）根据D的离心率为，求出从而求出双曲线的焦点，再由椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，即可求出，即可求出C与D的方程；
（2）①根据题意容易得出，然后联立方程，消元，利用即可求出m的取值范围；
②设，由①得：，计算出，判断其是否为定值即可.
【详解】解：（1）因为D的离心率为，即，
解得：，
所以D的方程为：；焦点坐标为，
又因椭圆的焦点与双曲线的焦点相同，
所以，所以，
所以C的方程为：；
（2）①如图：
因为直线与C交于A，B两点，且直线PA，PB的斜率都存在，
所以，
联立，消化简得：，
所以，解得，
所以且；
②设，
由①得：，
，
所以，
故直线PA，PB的斜率之积不是是定值.
【点睛】本题考查了求椭圆与双曲线的方程、直线与椭圆的位置关系及椭圆中跟定直有关的问题，难度较大.
49．以、为焦点的双曲线的右支的一部分，(，).
【解析】可由双曲线的定义判断界线是双曲线的一部分，建立坐标系即可求出方程.
【详解】矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路送药较近，
第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和送药一样远近，
依题意，界线是第三类点的轨迹，
设为界线上的任一点，则，，
∴界线是以、为焦点的双曲线的右支的一部分，
如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设所求双曲线方程的标准形式为(，)，
∵，，∴，
，故双曲线的标准方程为，
注意到点的坐标为，故的最大值为，此时，
故界线的曲线方程为(，).
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线方程的求解，解题的关键是得出，能根据双曲线定义判断界线是双曲线的一部分.
50．（1）；（2）.
【分析】（1）求得直线与轴的交点，可得，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线，代入，设，运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为，求得的垂直平分线方程，令，可得直线在轴上的截距，由不等式的性质可得范围.
【详解】（1）直线过x轴上一点，
由题意可得，即，
双曲线的渐近线方程为，
由两直线平行的条件可得，解得，
即有双曲线的方程为.
（2）设直线，
代入，可得，
设，则，
中点为，
可得的垂直平分线方程为，
令，可得，
由，解得，
又，解得，
综上可得，，即有的范围是，
可得直线与轴上的截距的取值范围为.
【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与双曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
51．（1）；（2）①；②或者.
【分析】（1）由题意，代入已知点建立方程，解之可得双曲线的标准方程.
（2）①由对称性可设，且，运用向量数量积的坐标运算表示，又由可得，由此可得最小时，的值.
②设过点的动直线为：设与双曲线的方程联立得，根据根的判别式和根与系数的关系可求得且，由直线的斜率公式得，再由恒等式的思想可求得点A的坐标及实数的值.
【详解】解：（1）由题意，且解得，
所以双曲线的标准方程为
（2）①由对称性可设，且，则，
因为点在双曲线上，所以，所以，所以，
当时，为直角，
当时，为钝角.
因此，最小时，.
②设过点的动直线为：
设联立得，
所以，由且，解得且，
，即即，
化简得，
所以，
化简得，
由于上式对无穷多个不同的实数都成立，
所以
如果那么此时不在双曲线上，舍去.
因此从而代入解得.
此时在双曲线上.
综上，或者.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系之定值问题，属于较难题，关键在于将直线与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，继而将目标条件转化到曲线上的点的坐标上去.
试卷第1页，共3页