3.2.2双曲线的简单几何性质-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册）
文档属性
| 名称 | 3.2.2双曲线的简单几何性质-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 7.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-11-14 11:10:08 | ||
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文档简介
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3.2.2 双曲线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-42.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-43.TIF" \* MERGEFORMATINET
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
思考 双曲线的离心率有什么作用？
答案 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
考点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.
考点三 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点．
思考 直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？
答案 不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点
考点四 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
【题型归纳】
题型一：由双曲线方程研究其几何性质
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
3．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
4．若实数k满足，则曲线与曲线（ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等
题型二：由双曲线的几何性质求标准方程
5．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线C：）的实轴长为4,虚轴长为8,则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：求双曲线的离心率
8．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
10．已知双曲线的离心率为，实轴长为2，实轴的左端点为，虚轴的上顶点为为右支上任意一点，则面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：直线与双曲线的位置关系
11．若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．直线与双曲线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
13．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：弦长问14．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
题
题型六：中点弦问题
17．已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线的左 右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
19．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
题型七：与双曲线有关的轨迹问题
20．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
21．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
23．已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
24．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线的离心率是，则（ ）
A． B． C． D．
28．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
31．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
32．双曲线的离心率为，的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
33．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
35．已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
36．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
37．已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左 右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．若，则的面积为2
D．若的面积为，则为钝角三角形
38．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
41．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
42．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ）
A． B． C． D．
43．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
44．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
45．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
46．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
47．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
48．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
49．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
50．已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为为上一点，则（ ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
51．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
三、填空题
52．已知双曲线的左 右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
53．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．
54．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.
55．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．
56．设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
57．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
四、解答题
58．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
59．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
60．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
61．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
62．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
参考答案
1．A
【分析】确定双曲线的焦点位置和的值即得解.
【详解】解：由题得，所以双曲线的焦点在轴上，
所以
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
2．C
【分析】先整理双曲线方程，得到，，从而求出双曲线的虚轴长.
【详解】整理为：，
由题意得：，故焦点在轴上，，
所以，该双曲线的虚轴长为
故选：C
3．A
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆的焦点在轴上，
依题意得，
解得.
故选：A.
4．A
【分析】根据实数的取值范围，判断两个曲线的类型及焦点位置，然后对四个选项逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，所以曲线是焦点在轴上的双曲线, 曲线是焦点在轴上的双曲线，
选项A：曲线与曲线的焦距分别为：
，，所以两曲线的焦距相等，故A正确；
选项B：曲线与曲线的实轴长分别为：，所以两曲线的实轴长不相等，故B错误；
选项C：曲线与曲线的虚轴长分别为：，所以两曲线的虚轴长不相等，故C错误；
选项D：曲线与曲线的离心率分别为：，所以两曲线的离心率不相等，故D错误；
故选：A.
5．B
【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.
【详解】将代入解得点坐标分别为，
因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.
故选：B.
6．B
【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.
【详解】设双曲线的方程为，
则解得
故双曲线的标准方程为．
故选：B．
7．B
【分析】根据双曲线得信息得出双曲线方程,进而求出渐近线即可.
【详解】解:由双曲线的实轴长为4,虚轴长为8,
可知,解得,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选:B
8．A
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，
此时，所以，
解得，所以，
当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.
综上，解得.
故选：A．
9．A
【分析】由题意可得，所以，代入即可得出答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
所以，
则双曲线的离心率为.
故选：A.
10．D
【分析】根据题意列式求解，再结合双曲线的渐近线分析可得到直线的距离大于两平行线间距离，运算求解.
【详解】由已知得，解得，
故双曲线的方程为，，
∵直线的方程为，与一条渐近线平行，两平行线间距离，
所以到直线的距离，即的取值范围为，
又∵，所以面积，
故面积的取值范围为.
故选：D.
11．D
【分析】由题意，分直线斜率存在与不存在进行讨论，若不存在，设出直线方程，联立方程，由唯一解，可得答案.
【详解】当直线的斜率不存在时，由题意，则直线的方程为，代入，
可得，解得，故此时直线与曲线有唯一交点；
当直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立，消去可得，
当，即时，方程为一次方程，必定有唯一解；
当，即时，由题意，可得该一元二次方程有唯一解，
则，，
，，解得，
综上所述，直线的方程有，，，共四条，
故选：D.
12．B
【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】由得 整理得，；
所以，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B
13．D
【分析】判断直线系过的定点，结合双曲线的渐近线的性质，讨论与渐近线平行、与左支相切两种情况求解即可．
【详解】直线恒过，双曲线渐近线为：，左顶点，，
直线与双曲线有且只有一个公共点，
有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切．
所以则的不同取值的个数为4个．
故选：．
14．A
【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，，从而求出的面积.
【详解】过点M作MB⊥x轴于点B，
OM与ON是双曲线的两条渐近线，故，
因为与渐近线ON平行，所以，
故，
因为，所以，
所以是等边三角形，，
故，，，
因为，
由勾股定理得：，即，
又因为，所以，
由得：，
从而，解得：，
所以，
则，，
故.
故选：A
15．D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
16．C
【分析】由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为，则右焦点，
所以直线方程为，
设，将代入化简得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，
直线方程为，
由，得，
由，得，
所以，
故选：C
17．B
【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.
【详解】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
18．D
【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
19．B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
20．D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，
由，得，该圆的半径为，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：D
21．A
【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．
22．A
【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．
故选：A．
23．D
【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再令，即可得到、坐标，再根据面积公式求出，最后由离心率公式计算可得；
【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，
不妨令，，
所以，所以，，
即，所以，
所以；
故选：D
24．C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【详解】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，
不妨假设，则，
由图象的对称性可知，
可化为，
即，解得，
故双曲线方程为：，
故选：C
25．B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
26．A
【分析】由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,
所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为
故选：A
27．D
【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.
【详解】因为双曲线的离心率是，
所以，解得（舍去）.
故选：D.
28．D
【分析】根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.
【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，
根据双曲定义可知，整理得，
代入整理得，求得；
∴．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.
29．A
【分析】由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出.
【详解】由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故选：A.
30．D
【分析】设，，，根据直线的斜率，以及，可得，再根据，即可求出．
【详解】解：设，，，，
，
，
，
．
故选：D．
31．B
【分析】结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.
【详解】由题，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为,
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则.
故选：B
32．A
【分析】由离心率公式可得，，直接计算即可求解.
【详解】由题意可得双曲线的离心率，
即的离心率为，
所以，
故选：A
33．C
【分析】由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.
【详解】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线方程为，即，
所以，，
两边平方得.又，所以，
化简得，所以.
故选：C.
34．A
【分析】根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即得解.
【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
则
故选：A
35．D
【分析】根据对称性可知，由此可得，，由双曲线定义可得关于的齐次方程，由此可求得离心率.
【详解】
双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形，
，又，，；
由双曲线定义知：，即，
双曲线离心率.
故选：D
36．B
【分析】根据离心率可得，再由可得曲线的方程为，然后将点代入即可求解.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
37．D
【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.
【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)
则，且，两式相减得，
所以，因为，所以，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记 则
因为 , 所以
解得 或 (舍去）, 所以 的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，
将带入C：，得，即
由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，
因为
所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确
故选：D
38．B
【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.
【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，
则．
由点P在第一象限，知，
即，即，
即．
故选：B
39．B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
40．D
【分析】根据题意可得，即可求出离心率范围.
【详解】由题可得渐近线的斜率满足，
所以离心率.
故选：D.
41．C
【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可
【详解】由题意，的渐近线方程为
故选：C
42．D
【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小.
【详解】由得：，，．
设，则．
所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以．
故选：D．
43．A
【分析】根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
44．C
【解析】设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.
【详解】不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.
则，
因为点在双曲线上，所以，则，
又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，
所以，
解得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
45．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
46．A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
47．C
【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.
【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
则该双曲线过点，且，所以，
解得，所以，得，
所以该双曲线的焦距为，
故选：C．
48．ACD
【分析】根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A、B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数形结合求的最小值，由为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为即可求最小值.
【详解】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；
D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
故选：ACD.
49．AD
【分析】根据双曲线的定义及性质即可验证各选项．
【详解】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
根据题意得，所以，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．
故选：AD．
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．
50．ABD
【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.
【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，
实半轴长为1，实轴长为，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；
由于可能在的不同分支上，则有，C错误；
焦距为正确.
故选：ABD.
51．BCD
【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误.
【详解】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
52．
【分析】设，，由得，求出点坐标，代入渐近线方程得用表示的式子，求得其范围后可得离心率范围．
【详解】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
53．
【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
由题意可设：，
由得：，即；
由得：，即；
，，即，
，即，，解得：，
即双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
54．2
【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.
【详解】解：根据题意，设双曲线方程为，
将点代入双曲线方程，解得.
所以，经过点的双曲线方程为：，
故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即，
所以，焦点到一条渐近线的距离是，
故答案为：
55．
【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解．
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
56．
【解析】画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程
【详解】解：因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，
所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，
所以，
因为,
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
57．
【解析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得，故实轴为.
【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，
所以，进而得.
故双曲线的实轴长为：.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
58．(1)
(2)2
【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；
（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．
（1）
由题设可知，解得
则：．
（2）
设点M的横坐标为
当直线斜率不存在时，则直线：
易知点到轴的距离为﹔
当直线斜率存在时，设：，，，
联立，整理得，
，
整理得
联立，整理得，
则，则，即
则，即
∴此时点到轴的距离大于2；
综上所述，点到轴的最小距离为2．
59．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
60．(1)
(2)-4
【分析】（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可；
（2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值.
（1）
依题又，
所以，，故双曲线的方程为.
（2）
由已知得，，设，
于是，，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，为.
61．(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
62．（1）；（2）.
【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
试卷第1页，共3页
3.2.2 双曲线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-42.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-43.TIF" \* MERGEFORMATINET
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
思考 双曲线的离心率有什么作用？
答案 双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．
考点二 等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为.
考点三 直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0 直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0 直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0 直线与双曲线有0个公共点．
思考 直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？
答案 不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点
考点四 弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝.
【题型归纳】
题型一：由双曲线方程研究其几何性质
1．双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．设表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为（ ）.
A． B．2k C． D．
3．双曲线与椭圆的焦点相同，则a等于（ ）
A．1 B． C．1或 D．2
4．若实数k满足，则曲线与曲线（ ）
A．焦距相等 B．实轴长相等 C．虚轴长相等 D．离心率相等
题型二：由双曲线的几何性质求标准方程
5．若圆与轴的两个交点都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
6．经过点和的双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线C：）的实轴长为4,虚轴长为8,则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：求双曲线的离心率
8．已知双曲线的离心率大于，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．
10．已知双曲线的离心率为，实轴长为2，实轴的左端点为，虚轴的上顶点为为右支上任意一点，则面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：直线与双曲线的位置关系
11．若直线l过点，且与曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．直线与双曲线的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
13．直线与双曲线有且只有一个公共点，则的不同取值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：弦长问14．已知双曲线：的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，.以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，且点在第一象限，与另一条渐近线平行.若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
题
题型六：中点弦问题
17．已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线的左 右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）
A．2 B． C． D．
19．已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
题型七：与双曲线有关的轨迹问题
20．已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
21．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
22．动圆M与圆：和圆：均外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
23．已知双曲线（a、b均为正数）的两条渐近线与直线围成的三角形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
24．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
26．双曲线的顶点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．已知双曲线的离心率是，则（ ）
A． B． C． D．
28．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，双曲线的左 右焦点分别为为双曲线右支上一点，直线与圆相切于点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
31．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
32．双曲线的离心率为，的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
33．已知双曲线的一个焦点到的一条渐近线的距离为， 则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
35．已知为双曲线的左、右焦点，以线段为直径的圆与双曲线的右支交于两点，若为等边三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
36．双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
37．已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，的左 右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则（ ）
A．
B．的离心率为
C．若，则的面积为2
D．若的面积为，则为钝角三角形
38．已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
39．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
41．双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
42．人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质．如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知双曲线的方程为，则当入射光线和反射光线互相垂直时（其中为入射点），的大小为（ ）
A． B． C． D．
43．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
44．已知椭圆，双曲线为的焦点，为和的交点，若的内切圆的圆心的横坐标为2，和的离心率之积为，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
45．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
46．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
47．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
48．已知点，点是双曲线左支上的动点，是圆上的动点，则（ ）
A．的实轴长为6
B．的渐近线为
C．的最小值为
D．的最小值为
49．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
50．已知双曲线的左 右焦点分别为，离心率为为上一点，则（ ）
A．双曲线的实轴长为2
B．双曲线的一条渐近线方程为
C．
D．双曲线的焦距为4
51．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
三、填空题
52．已知双曲线的左 右焦点分别为，若线段上存在点，使得线段与的一条渐近线的交点满足：，则的离心率的取值范围是___________.
53．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．
54．与双曲线有共同渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为___________.
55．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为______．
56．设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________.
57．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
四、解答题
58．已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．
59．已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
60．已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
61．双曲线C：（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
62．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
参考答案
1．A
【分析】确定双曲线的焦点位置和的值即得解.
【详解】解：由题得，所以双曲线的焦点在轴上，
所以
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：A
2．C
【分析】先整理双曲线方程，得到，，从而求出双曲线的虚轴长.
【详解】整理为：，
由题意得：，故焦点在轴上，，
所以，该双曲线的虚轴长为
故选：C
3．A
【分析】根据双曲线方程形式确定焦点位置，再根据半焦距关系列式求参数.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，
所以椭圆的焦点在轴上，
依题意得，
解得.
故选：A.
4．A
【分析】根据实数的取值范围，判断两个曲线的类型及焦点位置，然后对四个选项逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，所以曲线是焦点在轴上的双曲线, 曲线是焦点在轴上的双曲线，
选项A：曲线与曲线的焦距分别为：
，，所以两曲线的焦距相等，故A正确；
选项B：曲线与曲线的实轴长分别为：，所以两曲线的实轴长不相等，故B错误；
选项C：曲线与曲线的虚轴长分别为：，所以两曲线的虚轴长不相等，故C错误；
选项D：曲线与曲线的离心率分别为：，所以两曲线的离心率不相等，故D错误；
故选：A.
5．B
【分析】利用圆的方程解出两点坐标，利用双曲线的图像和性质计算即可.
【详解】将代入解得点坐标分别为，
因为两点都在双曲线上，且将此双曲线的焦距三等分，
所以双曲线焦点在轴上且，解得，
所以双曲线方程为：.
故选：B.
6．B
【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案.
【详解】设双曲线的方程为，
则解得
故双曲线的标准方程为．
故选：B．
7．B
【分析】根据双曲线得信息得出双曲线方程,进而求出渐近线即可.
【详解】解:由双曲线的实轴长为4,虚轴长为8,
可知,解得,
所以双曲线的渐近线方程为.
故选:B
8．A
【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得的范围．
【详解】当双曲线实轴在轴上时，，解得，
此时，所以，
解得，所以，
当双曲线实轴在轴上时，，解得，不符合题意.
综上，解得.
故选：A．
9．A
【分析】由题意可得，所以，代入即可得出答案.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
所以，
则双曲线的离心率为.
故选：A.
10．D
【分析】根据题意列式求解，再结合双曲线的渐近线分析可得到直线的距离大于两平行线间距离，运算求解.
【详解】由已知得，解得，
故双曲线的方程为，，
∵直线的方程为，与一条渐近线平行，两平行线间距离，
所以到直线的距离，即的取值范围为，
又∵，所以面积，
故面积的取值范围为.
故选：D.
11．D
【分析】由题意，分直线斜率存在与不存在进行讨论，若不存在，设出直线方程，联立方程，由唯一解，可得答案.
【详解】当直线的斜率不存在时，由题意，则直线的方程为，代入，
可得，解得，故此时直线与曲线有唯一交点；
当直线的斜率存在时，可设其方程为，
联立，消去可得，
当，即时，方程为一次方程，必定有唯一解；
当，即时，由题意，可得该一元二次方程有唯一解，
则，，
，，解得，
综上所述，直线的方程有，，，共四条，
故选：D.
12．B
【详解】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案.
【解答过程】由得 整理得，；
所以，故直线和双曲线只有一个交点；
又双曲线的渐近线方程为：
与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.
所以直线和双曲线的位置关系为相交．
故选：B
13．D
【分析】判断直线系过的定点，结合双曲线的渐近线的性质，讨论与渐近线平行、与左支相切两种情况求解即可．
【详解】直线恒过，双曲线渐近线为：，左顶点，，
直线与双曲线有且只有一个公共点，
有两条与渐近线平行，另外两条与左支相切．
所以则的不同取值的个数为4个．
故选：．
14．A
【分析】根据与渐近线平行，得到是等边三角形，，从而求出各边长，由勾股定理求出，结合渐近线斜率求出，从而求出，，从而求出的面积.
【详解】过点M作MB⊥x轴于点B，
OM与ON是双曲线的两条渐近线，故，
因为与渐近线ON平行，所以，
故，
因为，所以，
所以是等边三角形，，
故，，，
因为，
由勾股定理得：，即，
又因为，所以，
由得：，
从而，解得：，
所以，
则，，
故.
故选：A
15．D
【分析】设直线MN为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线MN为，联立双曲线：
设，则，所以，解得，
则，.
弦长|MN|.
故选：D.
16．C
【分析】由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【详解】设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为，则右焦点，
所以直线方程为，
设，将代入化简得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，
直线方程为，
由，得，
由，得，
所以，
故选：C
17．B
【分析】设出，，的坐标，利用点差法，结合为线段的中点，以及两点之间的斜率公式，通过恒等变换，得到与的斜率的乘积与的关系，根据化简可得答案.
【详解】设，，，
则，两式作差，并化简得，
，
所以，
因为为线段的中点，即
所以，
即，由，得.
故选：B.
18．D
【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；
【详解】解：设、，则，，
两式相减可得，
为线段的中点，，，
，又，，
，即，，
故选：D.
19．B
【分析】利用点差法即可．
【详解】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．
∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．
设双曲线C的方程为，则．
设，，则，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴双曲线C的离心率．
故选：B．
20．D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，
所以有，
由，得，该圆的半径为，
因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，
所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，所以，
所以点的轨迹方程为，
故选：D
21．A
【分析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设与圆的切点分别为、、，
则有，，，
所以．
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为．
故选：A．
22．A
【分析】根据圆与圆的位置关系，进而结合双曲线的定义即可求得答案.
【详解】设动圆M的半径为r，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，因为动圆M与圆和圆均外切，所以，，所以，所以点M的轨迹是以点，为焦点的双曲线的右支．，，，所以.所以动圆圆心M的轨迹方程为．
故选：A．
23．D
【分析】首先得到双曲线的渐近线方程，再令，即可得到、坐标，再根据面积公式求出，最后由离心率公式计算可得；
【详解】解：双曲线的渐近线为，令，可得，
不妨令，，
所以，所以，，
即，所以，
所以；
故选：D
24．C
【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解
【详解】由题意可设双曲线方程为，，
由得，则，，
不妨假设，则，
由图象的对称性可知，
可化为，
即，解得，
故双曲线方程为：，
故选：C
25．B
【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.
【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接，
由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，
设，则，，，
在中，，解得或m＝0（舍去），
从而有，中，，整理得，，
所以双曲线E的离心率为．
故选：B
26．A
【分析】由题知顶点坐标为,渐近线方程为:,进而利用点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:由题知双曲线中,,焦点在轴上,
所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为
故选：A
27．D
【分析】直接利用离心率公式计算得到答案.
【详解】因为双曲线的离心率是，
所以，解得（舍去）.
故选：D.
28．D
【分析】根据题设条件和双曲线的性质，在三角形值寻找等量关系，得到之间的等量关系，进而求出离心率.
【详解】依题意，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，
根据双曲定义可知，整理得，
代入整理得，求得；
∴．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率问题，正确解题的关键是熟练掌握双曲线的性质，以及寻找判断三角形中边的关系.
29．A
【分析】由已知结合双曲线定义可得，在中利用勾股定理即可求出.
【详解】由题可得，因为，所以，
则在中，，即，即.
故选：A.
30．D
【分析】设，，，根据直线的斜率，以及，可得，再根据，即可求出．
【详解】解：设，，，，
，
，
，
．
故选：D．
31．B
【分析】结合与双曲线的定义，可判断当为渐近线的垂线时能得到的最小值，再利用渐近线的斜率的几何意义即可求解.
【详解】由题，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为,
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则.
故选：B
32．A
【分析】由离心率公式可得，，直接计算即可求解.
【详解】由题意可得双曲线的离心率，
即的离心率为，
所以，
故选：A
33．C
【分析】由题意可求出，两边平方得结合，代入即可得出答案.
【详解】因为的一个焦点到的一条渐近线的距离为，
不妨取渐近线方程为，即，
所以，，
两边平方得.又，所以，
化简得，所以.
故选：C.
34．A
【分析】根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即得解.
【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
则
故选：A
35．D
【分析】根据对称性可知，由此可得，，由双曲线定义可得关于的齐次方程，由此可求得离心率.
【详解】
双曲线与以为直径的圆均关于轴对称，为等边三角形，
，又，，；
由双曲线定义知：，即，
双曲线离心率.
故选：D
36．B
【分析】根据离心率可得，再由可得曲线的方程为，然后将点代入即可求解.
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.
故选：B
37．D
【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，
通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；
设P在双曲线的右支上，记 则 ，利用，转化求解三角形的面积，判断C；
设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三 角形的形状，判断D.
【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)
则，且，两式相减得，
所以，因为，所以，
故双曲线C的渐近线方程
因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，
所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．
对于C，不妨设P在右支上, 记 则
因为 , 所以
解得 或 (舍去）, 所以 的面积为
，故C不正确；
对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，
将带入C：，得，即
由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，
因为
所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确
故选：D
38．B
【分析】设曲线，的焦距为2c，则可得，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出的关系，变形后可得结果.
【详解】设曲线，的焦距为2c．是以为底边的等腰三角形，
则．
由点P在第一象限，知，
即，即，
即．
故选：B
39．B
【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.
【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
40．D
【分析】根据题意可得，即可求出离心率范围.
【详解】由题可得渐近线的斜率满足，
所以离心率.
故选：D.
41．C
【分析】将双曲线化为标准方程，再根据渐近线的方程求解即可
【详解】由题意，的渐近线方程为
故选：C
42．D
【分析】设，则，勾股定理求m，应用和角余弦公式求的大小.
【详解】由得：，，．
设，则．
所以，解得（舍去），
所以，，
，
所以．
故选：D．
43．A
【分析】根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
44．C
【解析】设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为，可得，结合双曲线的定义，可得，即可求出，由和的离心率之积为，分别求出两个曲线的离心率的表达式，可建立等式关系，进而可求出的值.
【详解】不妨设点在第一象限内，的内切圆与边的切点分别为，双曲线的焦距为.
则，
因为点在双曲线上，所以，则，
又因为和的离心率之积为，而椭圆的离心率，双曲线的离心率为，
所以，
解得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆、双曲线的性质，解题的关键是根据和的离心率之积为，建立等式关系.本题中根据的内切圆的圆心的横坐标，可建立等式关系，得到4，可求出的值，再分别表示出和的离心率，由两个离心率之积为，可求出的值.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
45．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
46．A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
47．C
【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.
【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设双曲线的方程为，
则该双曲线过点，且，所以，
解得，所以，得，
所以该双曲线的焦距为，
故选：C．
48．ACD
【分析】根据双曲线方程写出实轴长、渐近线方程判断A、B；由圆和双曲线的位置关系，结合双曲线的性质、数形结合求的最小值，由为右焦点，根据双曲线的定义将目标式转化为即可求最小值.
【详解】A：由双曲线方程知：，则的实轴长为6，正确；
B：由双曲线方程知：的渐近线为，错误；
C：双曲线、圆如下：为左焦点，当且仅当为x轴交点，为x轴右交点时，最小为，正确；
D：由为右焦点，，则，要使最小只需共线，此时，正确.
故选：ACD.
49．AD
【分析】根据双曲线的定义及性质即可验证各选项．
【详解】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
根据题意得，所以，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．
故选：AD．
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．
50．ABD
【分析】根据双曲线的定义与方程，结合双曲线的性质运算求解.
【详解】由双曲线方程知：，离心率为，解得，故，
实半轴长为1，实轴长为，A正确；
因为可求得双曲线渐近线方程为，故一条渐近线方程为，B正确；
由于可能在的不同分支上，则有，C错误；
焦距为正确.
故选：ABD.
51．BCD
【分析】由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误.
【详解】双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
52．
【分析】设，，由得，求出点坐标，代入渐近线方程得用表示的式子，求得其范围后可得离心率范围．
【详解】设，，，
，则，
，则，，
，则，，点在渐近线上，
所以，，
由得，所以，又，
所以，所以．
故答案为：．
53．
【分析】设，与双曲线两渐近线联立可求得坐标，利用可构造齐次方程求得离心率.
【详解】
由题意可设：，
由得：，即；
由得：，即；
，，即，
，即，，解得：，
即双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：
（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；
（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.
54．2
【分析】由题意首先求得双曲线方程，据此可确定焦点坐标，然后利用点到直线距离公式可得双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离.
【详解】解：根据题意，设双曲线方程为，
将点代入双曲线方程，解得.
所以，经过点的双曲线方程为：，
故的一个焦点坐标为,一条渐近线方程为，即，
所以，焦点到一条渐近线的距离是，
故答案为：
55．
【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解．
【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，
即，解得或（舍去），
故所求双曲线方程为．
故答案为：
56．
【解析】画出图形，由，可得是的中点，再结合题意可得垂直平分，再由双曲线的两条渐近线关于对称，从而可得，进而可求出双曲线渐近线方程
【详解】解：因为，所以是的中点，
因为，所以垂直平分，
所以，
因为双曲线的两条渐近线关于对称，
所以，
因为,
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
故答案为：
57．
【解析】由题得双曲线的渐近线方程为，，故，进而得，故实轴为.
【详解】解：以两焦点所在直线为轴，两焦点所在线段的中垂线为轴建立直角坐标系，
设双曲线的焦距为，由题意得双曲线的渐近线方程为，，
所以，进而得.
故双曲线的实轴长为：.
故答案为：
【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为，，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题.
58．(1)
(2)2
【分析】（1）由渐近线可得，再把点代入方程即可解得；
（2）点M到y轴的距离的即为点M的横坐标为，联立方程利用韦达定理可求，分析求解即可，但要注意讨论直线的斜率是否存在．
（1）
由题设可知，解得
则：．
（2）
设点M的横坐标为
当直线斜率不存在时，则直线：
易知点到轴的距离为﹔
当直线斜率存在时，设：，，，
联立，整理得，
，
整理得
联立，整理得，
则，则，即
则，即
∴此时点到轴的距离大于2；
综上所述，点到轴的最小距离为2．
59．(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零.
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
60．(1)
(2)-4
【分析】（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可；
（2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值.
（1）
依题又，
所以，，故双曲线的方程为.
（2）
由已知得，，设，
于是，，
因此，
由于，所以当时，取得最小值，为.
61．(1)2；
(2)证明见解析.
【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的离心率公式进行求解即可；
（2）根据直线斜率公式，结合二倍角的正切公式进行证明即可.
（1）
设双曲线的离心率为e，焦距为2c，，
在中令x＝c，则，解得，若|AF|＝|BF|，则，
所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，解得e＝2或（舍去），所以e＝2；
（2）
因为e＝2，所以，
所以，，设B（x，y）（x＞0，y＞0），
kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，
tan2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan∠BFA，所以∠BFA＝2∠BAF.
【点睛】关键点睛：利用二倍角的正切公式是解题的关键.
62．（1）；（2）.
【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
试卷第1页，共3页