3.3.2抛物线的简单几何性质-【帮课堂】2022-2023学年高二数学《考点·题型·技巧》精讲与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

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3.3.2　抛物线的简单几何性质
【考点梳理】
考点一　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-64.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-65.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-65.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-66.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-66.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-67.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-67.TIF" \* MERGEFORMATINET
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴
焦点坐标 F F F F
准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
顶点坐标 O(0,0)
离心率 e＝1
通径长 2p
考点二　直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．
当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．
当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
考点三　和抛物线有关的轨迹方程
根据定义，可以直接判定一个动点的轨迹是抛物线，求动点的轨迹方程．
考点四　直线和抛物线
1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.
2．抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①y1y2＝－p2，x1x2＝；
②＝x1＋x2＋p；
③＋＝.
【题型归纳】
题型一：抛物线的几何性质的应用
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A． B． C．2 D．4
2．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
题型二：直线与抛物线位置关系的判断
4．直线与抛物线只有一个公共点，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．1或0 D．1或3
5．过点与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
6．直线与抛物线的位置关系为（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
题型三：直线与抛物线的相交问题
7．过抛物线的焦点且斜率为1的直线与该拋物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知抛物线C：y2＝8x的准线为l，l与x轴交于点P，直线x＝1与抛物线C交于A，B两点，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，的角平分线与抛物线的准线交于点，线段的中点为.若，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型四：和抛物线有关的轨迹问题
10．设动圆圆心为，该动圆过定点，且与直线相切（），圆心轨迹为曲线.过点的直线与轴垂直，若直线与曲线交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的个数是（ ）
（1）动点满足，则P的轨迹是椭圆
（2）动点满足，则P的轨迹是双曲线
（3）动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
（4）动点满足，则P的轨迹是圆和两条射线
A．0 B．1 C．2 D．3
12．已知点到点的距离比它到直线的距离小，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：抛物线的综合问题
13．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线C交于点A，B，与l交于点D，若，|AF|＝4，则p＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
14．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与拋物线交于，两点，又直线与圆交于两点.若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
15．已知函数抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，直线交轴于点，若 ，则点到焦点的距离为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【双基达标】
16．已知抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，O为坐标原点，则四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
17．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于
A． B． C． D．
18．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
19．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知F是抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
21．过点的直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则（ ）
A． B． C． D．
22．我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；
②；
③．
已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为
C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为
24．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
25．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
26．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于、两点，若，则这样的直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
27．设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
28．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A．2 B．2或4 C．1或2 D．1
29．以轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
30．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
32．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
33．设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
34．直线交抛物线于、两点，为抛物线的顶点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
35．过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
36．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是，圆的半径为，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点，则圆的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
37．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
38．已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
39．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
40．已知抛物线的准线与圆只有一个公共点，设是抛物线上一点，为抛物线的焦点，若（为坐标原点），则点的坐标是（ ）
A．或 B．或
C． D．
二、多选题
41．（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于点，，点，在上的射影为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切
C．若，则 D．
42．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点F到准线l的距离为2
B．焦点，准线方程
C．的最小值是3
D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切
43．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
44．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
三、填空题
45．抛物线的顶点和椭圆的中心重合，抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，则抛物线的方程为___________.
46．已知抛物线的焦点为，准线为，点是上一点，过点作的垂线交轴的正半轴于点，交抛物线于点，与轴平行，则___________.
47．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为________________________.
48．已知为抛物线的焦点，过作斜率为的直线和抛物线交于，两点，延长，交抛物线于，两点，直线的斜率为.若，则______.
49．已知抛物线上一点到焦点的距离为4，准线为，若与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则双曲线的离心率为___________.
50．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，与相交于点D．若，则的面积为__________．
四、解答题
51．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
52．已知抛物线：的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设，是抛物线上的不同两点，且轴，直线与轴交于点，再在轴上截取线段，且点介于点点之间，连接，过点作直线的平行线，证明是抛物线的切线.
53．已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．
（1）求C1的离心率；
（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．
54．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点P在抛物线E上，点P的横坐标为2，且|PF|＝2，A，B是抛物线E上异于O的两点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为﹣，求证：直线AB恒过定点．
55．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
参考答案
1．D
【分析】根据抛物线的解析式求出即可
【详解】由题意得，得，
所以抛物线的焦点到准线的距离是4.
故选：D.
2．C
【分析】根据点为抛物线上一点可得，利用三角形面积列出等式，即可求得答案.
【详解】由题意点为抛物线上一点可得，
即，则的面积，
解得，
故选：C
3．A
【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，
【详解】由题可得，因为，
所以，，
所以为坐标原点)的面积是.
故选：A.
4．C
【分析】将直线方程与抛物线方程联立，消去，整理后可知方程只有一个解，所以分和两种情况可求得结果.
【详解】由，得，
所以，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以或，
解得，或，
故选：C.
5．C
【分析】由已知，根据题意，过点分别从与轴平行，直线斜率不存在，直线斜率存在三种情况分别求解出满足题意的直线，然后即可做出判断.
【详解】由已知，可得
①当直线过点且与轴平行时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
②当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线只有一个公共点；
③当直线斜率存在时，设直线方程为，由可得，
，，解得，故直线方程.
所以存在3条直线，，满足过点与抛物线只有一个公共点.
故选：C.
6．A
【分析】直线过定点，在抛物线内部，即可得出结论．
【详解】直线过定点，
∵，
∴在抛物线内部，
∴直线与抛物线相交，
故选：A．
7．B
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线，然后根据过焦点直线方程和抛物线联立求得线段中点横坐标即可求得答案.
【详解】解：由题意得：
的交点坐标为，准线为
直线，设
联立直线和双曲线方程可知：
有韦达定理可知：
线段的中点横坐标为：
故线段的中点到准线的距离为
故选：B
8．B
【分析】求出点的坐标，联立方程组得的值，由三角形面积公式可得结果.
【详解】由抛物线的方程可知准线，点，
联立，可得，解得：，
所以，
所以的面积为，
故选：B.
9．D
【分析】先判断直线的斜率存在，然后设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长求得直线的方程与倾斜角，求得点、点的坐标，进而求得.
【详解】抛物线，，焦点，准线.
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
由解得，则不符合题意，所以直线的斜率存在.
设，
由消去并化简得①，
，
设，则，
则，，
不妨设，在第一象限，则直线，倾斜角为.
所以，
①式为，即，解得，
，
，
所以，
则，所以.
由于，所以.
所以.
故选：D
【点睛】求解直线和抛物线相交所得弦长问题，一定要注意的是判断直线的斜率是否存在.如果直线过抛物线的焦点，则可用来进行求解，其它情况用来进行求解.
10．D
【分析】先根据抛物线的定义求曲线的轨迹，再由定义可求解.
【详解】由题意，设，因为，
根据抛物线的定义可知，曲线的轨迹为，
再根据直线与轴垂直且直线与曲线交于，两点，
从而可知.
故选：D
11．B
【分析】根据椭圆、双曲线定义及公式的几何意义判断（1）、（2），应用两点、点线距离公式求P的轨迹判断（3），由已知条件得或即可判断（4）.
【详解】（1）公式的几何意义为到、的距离之和为4，而、的距离等于4，故P的轨迹不是椭圆，错误；
（2）公式的几何意义为到与到的距离之差为5，且、的距离等于4，P的轨迹不是双曲线，错误；
（3）由题设，到y轴的距离比到的距离小1，则，可得P的轨迹是或，错误；
（4）由题设，或，故P的轨迹是圆和直线（在圆上或圆外部分，即两条射线)，正确.
故选：B.
12．B
【分析】分析可知点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，进而可求得点的轨迹方程.
【详解】由题意，点到点的距离等于它到直线的距离，
则点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程为，
故选：B .
13．B
【分析】利用抛物线定义和，再利用三角函数可以得到焦点F到准线l的距离，进而得到p的值.
【详解】如图所示：过点A作AN垂直准线l于N，过点B作BM垂直准线l于M，
则|AF|＝|AN|，|BM|＝|BF|，
又因为，即|，
所以，所以cos，
过F作FH⊥AN于H，则cos，
由|AF|＝4可得：|AH|＝1，又因为|AF|＝|AN|＝4，所以，
则焦点F到准线的距离为3，由抛物线定义可得p＝3，
故选：B．
14．C
【分析】写出直线方程为与抛物线方程联立方程组，设，方程组消元后求得，由点在直线上求得（也可消去，直接用韦达定理得结论），再由焦点弦长公式表示出弦长，圆心就是抛物线的焦点，圆半径是，则，代入已知条件可求得．
【详解】抛物线的焦点为，直线方程为，
由得，设，则，
又，，∴，
∴，
圆，圆心为，半径为，
∴，
∵，∴，解得，∵，∴．
故选：C．
15．A
【分析】过点P作x轴的垂线，可知，由此结合可得，求得，即可求得答案.
【详解】如图，不妨设点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为N，则,
由题意知， ，即，
因为 ，所以 ,
故,
所以点P到准线的距离为,即点到焦点的距离为5，
故选：A .
16．A
【分析】由抛物线定义将A到焦点的距离转化为A到准线的距离，求出A的横坐标，进而得到纵坐标，设出直线AB，代入抛物线方程利用根与系数的关系求出|y1-y2|，进而求出面积.
【详解】抛物线的准线方程为，设，，由抛物线的定义可知，，由抛物线的对称性，不妨令，设直线的方程为，由得，，∴，四边形的面积，
故选：A．
17．C
【分析】根据抛物线定义可构造方程求得，进而确定所求距离.
【详解】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离，
即，解得：，
又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为.
故选：.
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，属于基础题.
18．A
【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等,
由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，
所以，其方程为，
故选：A
19．B
【分析】分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
20．A
【分析】设出交点坐标，将直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理写出，根据抛物线的定义可知，结合已知条件，即可得出正确选项.
【详解】设，，由，得，则．
又，即．
故选：A．
21．C
【分析】设直线方程为，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.
【详解】设直线方程为，，，
联立方程组，整理得，
因为直线与抛物线交于两点，所以，解得，
因为线段中点的横坐标为2，可得，所以或（舍），
所以，可得，
则．
故选：C.
22．A
【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点，
依题意，，设，，
由消去y并整理得，则，，
，解得，即，
当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：，
点P必在抛物线的准线上，点，，
又，于是得，
由对称性可知，当时，同理有，
所以的面积是.
故选：A
23．A
【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可.
【详解】抛物线，即，
可知抛物线的开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题.
24．D
【分析】设（）且直线，联立抛物线应用韦达定理，结合向量数量积的坐标表示求得，进而可得，最后应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】
设（）且直线，联立抛物线得，
由，而，所以，得或，
又A，B位于x轴的两侧，故，故，
由，且过定点，
又，，
所以，当且仅当时等号成立.
故与面积之和的最小值是.
故选：D
25．B
【解析】由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
26．B
【分析】分析可知直线不与轴重合，可设该直线的方程为，与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由可求得的值，即可得出结论.
【详解】若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.
所以直线不与轴重合，易知抛物线的焦点为，
设直线的方程为，联立可得，
，则，
所以，，解得.
故满足条件的直线有且只有一条．
故选：B．
27．C
【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.
【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为， ，，，不妨设，则，
所以，解得：，则，解得：，则，
所以，解得：，则直线AB为，
所以当时，即，解得：，则，
联立与得：，则，
所以，其中.
故选：C
28．B
【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果.
【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.
故选：B.
29．C
【分析】由分焦点在轴的正半轴上和焦点在轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以轴为对称轴，且通经长为8，
当抛物线的焦点在轴的正半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为；
当抛物线的焦点在轴的负半轴上时，设抛物线的方程为，
可得，解得，所以抛物线方程为，
所以所求抛物线的方程为.
故选：C.
30．D
【分析】设线段的中点为，分别过A，P，B三点作准线l的垂线,由抛物线的定义可求出，进而可得关于的方程，即可求出中点的纵坐标.
【详解】如图所示，设线段的中点为，
分别过A，P，B三点作准线l的垂线，
垂足分别为，Q，，由题意得
．
由得，所以抛物线的准线方程为，
又，∴，∴．
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线的定义，属于基础题.
31．A
【分析】利用抛物线的定义结合条件可得，，进而可得.
【详解】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，
则，，
因为，
所以，所以，所以，
所以，，
所以.
因为，
所以，
解得，所以，点F到AM的距离为，
所以.
法二：因为，
所以，所以，即.
连接FM，又，
所以为等边三角形.
易得，所以.
故选：A.
32．A
【分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】设等边三角形的边长为，
则，解得．
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为．
故选：A
33．B
【分析】依据题意不妨作出焦点在轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段的垂直平分线经过点，即求解.
【详解】如图所示：．
因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
34．A
【分析】设点、，将直线与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知条件可得出，利用平面向量的数量积结合韦达定理可求得实数的值.
【详解】设点、，联立，可得，
，可得，由韦达定理可得，由题意可知，
因为，则，解得.
故选：A.
35．C
【分析】方法一（几何法）：根据抛物线的概念，结合直角三角形相关知识和已知条件即可求解；方法二（代数法）：设直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、抛物线的概念和已知条件即可求解.
【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
36．A
【解析】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，求出，当的最小值在原点处取得时，圆过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点．
【详解】设圆心为，（），半径为，是抛物线上任一点，
，
若的最小值不在处取得，则圆不过原点，
所以，即，此时圆半径为．
因此当时，圆无法触及抛物线的顶点．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为，抛物线上点的坐标为，求出，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．
37．A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
38．A
【解析】计算抛物线方程为，设，计算，得到答案.
【详解】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，
则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.
设，圆：，圆心为，半径为1，
则，
当时，有最小值，故最小值为.
故选：.
【点睛】本题考查了抛物线方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
39．A
【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标.
【详解】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
40．B
【分析】先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，则，，再由，可求得的值，即可得答案.
【详解】解：抛物线的准线方程为．
方程可化为．
由题意，知圆心到准线的距离，解得，
所以抛物线的方程为，焦点为．
设，则，，
所以，解得，
所以点的坐标为或．
故选B．
41．ABD
【分析】由抛物线的定义可判断A；由抛物线焦点弦的性质可判断B，D；由抛物线的定义，可知，所以的最小值为，求出，可判断C.
【详解】对于A，由抛物线的定义，知，故A正确．
对于B，线段的中点为，抛物线的准线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，以为直径的圆与准线相切，B正确；
对于C，由抛物线的定义，可知，所以的最小值为．
又的坐标为，所以，故C错误．
对于D，连接，则由，
得，又轴，所以，
同理，
所以，
所以，所以，所以D正确.
故选：ABD.
42．ACD
【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为即可求解；
对B：由抛物线方程即可求解；
对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；
对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.
【详解】解：对B：由抛物线，可得，准线 ，故选项B错误；
对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确；
对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得，
所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立，
所以的最小值是3，故选项C正确；
对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、，
设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，，
又根据抛物线的定义有，，
所以，
所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；
故选：ACD.
43．AC
【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论
【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为．
故选：AC
44．ACD
【分析】先求出，选项A求出点的横坐标为，判断选项A正确；选项B求出抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，判断选项B错误；选项C先判断外接圆的圆心的横坐标为1，再判断外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，最后求出半径和外接圆面积，判断选项C正确；选项D直接求出的周长为，判断选项D正确.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，，则，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，
选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；
选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；
选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；
选项D：因为的周长为，所以选项D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查抛物线的定义的几何意义，双曲线的通径长，
45．
【解析】求出椭圆的右焦点，由即可求解.
【详解】依题意知，椭圆的右焦点，
设抛物线的方程为：，则，
．抛物线的方程为：．
故答案为：
46．6
【分析】设，结合已知条件，求出点和点的坐标表示，由三点共线求出的值，再结合两点之间的距离公式求出结果.
【详解】由抛物线的方程，可得焦点为，准线方程为，
设，则，因为，所以，
直线：，令，得，即，
设，由，，三点共线，得，
整理得，解得或(舍)，
所以，所以.
故答案为：6
47．
【分析】根据抛物线的定义可得为等边三角形，从而求得的长度，进而在中求出的长度，进而求出的值，从而求出结果.
【详解】
设准线与轴的交点为，准线为，焦点为，
由抛物线的定义知，又，所以为等边三角形，且，所以,则，又因为，因此，故抛物线的方程为；
故答案为：.
48．4
【分析】设，，设过点作斜率为的直线方程为：，与抛物线联立，由韦达定理可得，设，，则，，设，所在直线方程可得，，由此可得的值.
【详解】设过点作斜率为的直线方程为：，
联立方程，消去可得：，
设，，∴，
设，，
则，同理，
设所在的直线方程为，
联立方程，消去得：，
∴，同理可得，
则.
故答案为：4.
【点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
49．
【分析】由给定条件求出抛物线的准线l的方程，再求出准线与双曲线的两条渐近线的交点即可作答.
【详解】依题意，抛物线准线：，由抛物线定义知，解得，则准线：，
双曲线的两条渐近线为，于是得准线与二渐近线交点为，
原点为O，则面积，解得，
双曲线的半焦距为c，离心率为e，则有，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
50．
【分析】根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，进而可求出点坐标，即可求解.
【详解】如图所示，由已知，．得．
因为轴，， ，
所以四边形ABCD为平行四边形，且，
所以，解得，
代入得，
所以．
故答案为：.
51．（1）；（2）.
【分析】（1）利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．
（2）设，，，，且．设中点为，当时，，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．
【详解】解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．
52．（1）；（2）见解析.
【分析】（1）分过点的直线斜率存在和不存在两种情况，设过点的直线方程为，，联立，求得两根只和，两根之积，再根据半焦距公式几块求得p，从而得出答案；
（2）不妨设点P在第一象限，则，设直线PQ的方程为，，求得点G的坐标，根据，可求得点E的坐标，从而可求的PE的斜率，联立，求得点Q的坐标，从而可得直线l的方程，联立消元，利用根的判别式即可得证.
【详解】（1）解：设过点的直线方程为，，
联立，得，
则，
所以，
，
因为，
所以，
化简得，所以，
当过点的直线斜率不存在时，则，
故，
又因为，
则，所以，
综上所述，，
所以；
（2）证明：不妨设点P在第一象限，
则，
设直线PQ的方程为，，
联立，消元整理得，
则，即故，即，
当时，，则，
又因，且点介于点点之间，则为的中点，
所以，
则直线的斜率为，
因为直线平行直线，
所以直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
联立，消元整理得，
，
所以直线l与抛物线只有一个交点，
有直线l斜率不为0，
所以是抛物线的切线.
53．（1）；（2）：，： .
【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；
（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；
【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.
不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，
所以当时，有，因此的纵坐标分别为，；
又因为抛物线的方程为，所以当时，有，
所以的纵坐标分别为，，故，.
由得，即，解得（舍去），.
所以的离心率为.
（2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为.
由已知得，即.
所以的标准方程为，的标准方程为.
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
54．（1）x2＝4y；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用抛物线的焦点坐标，求出P，然后求抛物线E的方程；
（2）判断直线的斜率存在，设出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率乘积关系，转化求解即可.
【详解】（1）由题意得，F（0，），设P（2，y0），，
由点P是E上一点，得4＝2p（2﹣），∴p2﹣4p+4＝0，解得p＝2，
∴抛物线E的方程为x2＝4y；
（2）设A（），B（），
由题意可知，，
得x1x2＝﹣8，可知直线AB的斜率存在．
设AB：y＝kx+m，
联立，得x2﹣4kx﹣4m＝0，
可得x1x2＝﹣4m＝﹣8，即m＝2．
∴直线AB恒过定点（0，2）．
55．(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
试卷第1页，共3页